Explícitas Polares Paramétricas APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Área Volumen Longitud Área lateral de una superficie de revolución SALIR

Área de una región plana Ejemplo

Calcular el área de la elipse. Solución: X Y a b Consideramos y>0 y calculamos el área de la semielipse. Para ello, despejamos y en la ecuación de la curva. Por consiguiente, teniendo en cuenta los límites sobre el eje X y que el área será el doble: Utilizamos el cambio x=asent

Puesto que Como 1+cos(2t)=2 cos2t

Área de una región plana (continuación) Ejemplo

Encontrar el área común a las parábolas y2=x; x2=y. Solución: x=0 x=1 Resolvemos el sistema:

Volumen de un cuerpo de revolución Ejemplo Volumen de un cuerpo de revolución O X Y x=a x=b y=f(x) Demostración: El área de la sección perpendicular al eje de abscisas es el área de un circulo de radio f(x), luego el volumen de un cuerpo de revolución es: f(x) Ejemplo

Calcular el volumen del elipsoide. X Y Z a b c Solución: El área de la sección A(x) es el área de la elipse, cuyos semiejes dependen del punto de intersección x Al cortar con el plano perpendicular al eje OX, Semiejes: Por consiguiente, teniendo en cuenta los limites sobre el eje X:

- = Hallar el volumen engendrado por la rotación de la circunferencia al girar alrededor del eje OX. 1 ) 4 y ( x 2 = - + Solución: Al girar un circulo alrededor de un eje que está en el mismo plano que el círculo pero que no corta a éste se obtiene: toro = - Debemos considerar el volumen del cuerpo obtenido al girar la semicircunferencia superior menos el correspondiente a la semicircunferencia inferior, ya que la generatriz es una curva cerrada. Teniendo en cuenta los limites sobre el eje X:

Utilizamos el cambio: Puesto que, Siendo 1+cos(2t)=2 cos2t

Ejemplo Longitud de un arco de curva Sea la curva y=f(x) siendo f derivable y con derivada continua en [a, b], la longitud del arco que va del punto (a,f(a)) al (b,f(b)) de dicha curva es: O X Y x=a x=b y=f(x) Demostración: yi Pi ∆li Pi-1 ∆yi yi-1 Pn ∆xi P0 xi-1 xi Siendo: Si consideramos entonces si existe: Ejemplo

Solución: x como c.q.d.

Área lateral de una superficie de revolución X Y x=a x=b y=f(x) Pi Demostración: Pi-1 Consideramos una partición P ={x0, x1,...,xn} de intervalo [a,b], de tal forma que a=x0<x1<...<xn=b, y designando por Pi=(xi,f(xi))=(xi,yi) yi-1 yi xi-1 El trapecio rectángulo de bases yi-1, yi, altura xi-xi-1 y lado oblicuo Pi-1Pi, gira alrededor del eje de abscisas determinando un tronco de cono, cuya área lateral es: xi Ejemplo Demostración (continuación):

Área lateral de una superficie de revolución Demostración (continuación): El recinto determinado por y=f(x), y=0, x=a, x=b gira alrededor del eje de abscisas determinando un sólido cuya área es, aproximadamente: con Si aumentamos el número de términos de la partición de manera que el entonces existe:

Determinar el área de la esfera. Solución: -r r La esfera se obtiene al girar el circulo x2+y2=r2 alrededor del eje OX. Con los limites de integración entre –r y r.

Ejemplo Área encerrada por una curva definida en paramétricas y el eje OX Demostración: Sustituyamos en esta integral la variable: x=x(t); dx=x’(t)dt Y en la curva obtenemos y=f(x)=f(x(t))=y(t). Por consiguiente: Ejemplo

Hallar el area comprendida entre un arco de la Cicloide x = a(t-sent), y = a(1-cost) siendo a > 0 y el eje de abscisas. Solución: Un arco va del origen t=0 a t=2п t=0 t=2п

Volumen de un cuerpo de revolución Demostración: Sabemos que: Sustituyamos en esta integral la variable: x=x(t); dx=x’(t)dt Y en la curva obtenemos y=f(x)=f(x(t))=y(t). Por consiguiente: Ejemplo

Hallar el volumen engendrado por la rotación del área encerrada por un arco de cicloide x = a (t - sen t); y = a (1 - cos t), siendo a > 0 y el eje X alrededor del eje OX. Solución: Un arco va del origen t=0 a t=0

Calculando las cuatro integrales por separado: Siendo 1+cos(2t)=2 cos2t Sustituyendo en la igualdad (**)

Ejemplo Longitud de un arco de curva O X Y x=a x=b y=f(x) yi Pi ∆li Demostración: ∆li Pi-1 ∆yi yi-1 Pn ∆xi P0 xi-1 xi Siendo: Si consideramos entonces si existe: Ejemplo

Hallar la longitud total de la curva dada por las ecuaciones paramétricas: Solución: Obtenemos la gráfica y observamos que es simétrica respecto el eje de abscisas, luego nos limitaremos a calcular la longitud de una rama. t=0 Calculamos las derivadas: sumando

Ejemplo Área lateral de la superficie de revolución Demostración: Véase la demostración en el caso y=f(x) Ejemplo

Calcular el área de la superficie de revolución engendrada al girar alrededor del eje de abscisas la curva cuyas ecuaciones paramétricas son: Solución:

Resolveremos la integral por partes: De nuevo por partes: Resolviendo la ecuación,

Sustituyendo la primitiva obtenida y aplicando la regla de Barrow,

Ejemplo Área de una curva en coordenadas polares Demostración: Consideramos una partición P ={t0, t1,...,tn} de intervalo , de tal forma que: ө1=t0<t1<...<tn=ө2 α El área de un sector circular expresado el ángulo en radianes es: r Eje polar Polo Designando por: el ángulo formado por los radios vectores. Si consideramos entonces si existe: Ejemplo

Calcular el área delimitada por la curva r=cos r=cos 1 Solución: Dando valores a r=cos 1 -1<0 Calculamos el área del semicírculo y multiplicamos por 2: Siendo 1+cos(2ө)=2 cos2ө

Ejemplo Área entre dos curvas en coordenadas polares Sean y dos curvas continuas en y tal que en , entonces el área comprendida entre ambas curvas es: Ejemplo

= - Calcular el área de la mitad superior de la región entre las curvas dadas: r=1+cos ; r=cos Solución: = - CIRCUNFERENCIA CARDIOIDE 2 1 1 -1<0

Ya que cos2ө =(1+cos(2ө))/2 Resolvemos cada integral por separado: Ya que cos2ө =(1+cos(2ө))/2 El área del semicírculo de radio ½ es: Por tanto,

Volumen de un cuerpo de revolución Si la curva viene dada en coordenadas polares , al girar alrededor del eje polar se obtiene: O X Y Polo Eje polar Demostración: Ejemplo

Teorema de Guldin Consideramos una partición P ={t0, t1,...,tn} P’ Demostración: El volumen del sólido engendrado por la rotación (de una vuelta completa) de un conjunto plano simple alrededor de un eje que no le atraviese es igual al área de dicho conjunto multiplicada por la longitud de la circunferencia que describe su centro de gravedad. Consideramos una partición P ={t0, t1,...,tn} de intervalo P’ O X Y Polo Eje polar , de tal forma que: ө1=t0<t1<...<tn=ө2 Pi El volumen V engendrado al girar la región OPP’, es la suma de los volúmenes engendrados por los conjuntos OPi-1P’i. Pi-1 P Gi Sea Gi el centro de gravedad de este conjunto, el cuál, dado que es aproximadamente un triángulo, vendrá determinado por las coordenadas polares El área de dicho triángulo es y el volumen que engendra al girar alrededor de OX es, por el teorema de Guldin

Volumen de un cuerpo de revolución Demostración (continuación): La suma de los volúmenes engendrados por estos triángulos es: que es la suma de Rieman correspondiente a la integral: Ejemplo

La curva gira alrededor del eje polar. Calcular el volumen obtenido. Solución: El volumen es generado por dos pétalos y por simetría el doble del obtenido con un solo pétalo. a Puesto que, sen(2ө)=2senө cosө La función beta de Euler permite resolver esta integral.

Por tanto, en nuestro caso: Sabemos que: Y además, Luego, Por tanto, en nuestro caso: 1

Ejemplo Longitud de un arco de curva Demostración: Cambio de coordenadas polares a cartesianas: O X Y Polo Eje polar Cualquier punto de la curva P(x,y) verifica: Sabiendo que: (*) calculamos las derivadas, P(x,y) r y=rsenө y a continuación sus cuadrados: ө x=rcosө Ejemplo Demostración (continuación):

Ejemplo Longitud de un arco de curva (continuación) sumando Demostración (continuación): sumando Sustituyendo en la fórmula O X Y Polo Eje polar P(x,y) r y=rsenө ө x=rcosө Ejemplo

Hallar la longitud del primer paso de la espiral de Arquímedes r = a θ, con a>0. Solución: Tenemos que: , luego , por tanto: Con el cambio: Ya que ch2 t=sh2t+1=ө2+1 y como ch2 t=(1+ch2t)/2 Resolviendo la integral indefinida: se tiene que sh2t=2shtcht

Como, Sustituyendo la primitiva obtenida y aplicando la regla de Barrow, Luego

Ejemplo Área lateral de la superficie de revolución Demostración: O X Y Polo Eje polar Cambio de coordenadas polares a cartesianas: Cualquier punto de la curva P(x,y) verifica: P(x,y) r y utilizando la fórmula para el caso paramétrico: y=rsenө x=rcosө Ejemplo Demostración (continuación):

Ejemplo Área lateral de una superficie de revolución Demostración (continuación): De las ecuaciones paramétricas; calculamos las derivadas, y sus cuadrados: sumando Sustituyendo en la fórmula Ejemplo

La cardioide gira alrededor de su eje de simetría. Calcular la superficie que engendra. Solución: 1 2 Obviamente el eje de simetría es el eje polar, ya que el coseno es una función par y los limites de integra- ción t=0 y t= . t= t=0 Eje polar Derivando, y sustituyendo