U.D. 11 * 2º ESO ÁREAS Y VOLÚMENES

Presentación del tema: "U.D. 11 * 2º ESO ÁREAS Y VOLÚMENES"— Transcripción de la presentación:

1 U.D. 11 * 2º ESO ÁREAS Y VOLÚMENES
@ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

2 U.D. 11.4 * 2º ESO VOLUMEN DEL CONO
@ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

3 Apuntes Matemáticas 2º ESO
ÁREAS DEL CONO RECTO Área lateral Es el área de la superficie curva que genera, que es un sector circular. Al = π.r.g Siendo r el radio de la base, que es un círculo. Y g la generatriz del cono. Área de la base Es el área del círculo que la forma. Ab = π.r2 Área total Es la suma del área lateral y de la única base. At = π.r.g + π.r2 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

4 Apuntes Matemáticas 2º ESO
Ejemplos Ejemplo_1 El diámetro de la base de un cono mide 10 cm y la altura mide 12 cm. Hallar el área lateral y el total del cono. El área de la base es: Ab = π.r2 = π.(10/2)2 = 25 π cm2 La generatriz es hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son el radio de la base y la altura del cono: g = √ (r2 + h2 )  g = √ ( ) = √ ( ) = √ 169 = 13 cm El área lateral es: Al = π.r.g = 5.π.13 = 65. π cm2 El área total será: At = Ab + Al = 25 π + 65 π = 90 π cm2 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

5 Apuntes Matemáticas 2º ESO
Ejemplos Ejemplo_2 El radio de la base de un cono mide 5 cm. Hallar la altura para que el área lateral sea igual al área de la base. El área de la base es: Ab = π.r2 = π.52 = 25 π cm2 El área lateral es: Al = π.r.g = 5.π.g Igualando ambas: 25.π = 5. π.g  g = 5 Conocidas la generatriz y el radio de la base, por el T. de Pitágoras hallamos la altura: h = √ (g2 - r2 )  h = √ (52 – 52) = 0 El cono es imposible, pues para que se cumpla la condición del enunciado la altura sería nula, y por tanto no existe cono alguno. IMPORTANTE: En un cono el área lateral es SIEMPRE MAYOR que el área de la base. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

6 Apuntes Matemáticas 2º ESO
Ejemplos Ejemplo_3 El radio de la base de un cono mide 5 cm menos que la altura del cono, y la generatriz 7 cm. Hallar la altura del cono y el área lateral. Sabemos que en el cono: g2 = r2 + h2 72 = (h - 5)2 + h2 Operando: 49 = h2 – 10.h h2  2.h2 – 10.h – 24 = 0 Simplificando: h2 – 5.h – 12 = 0 Resolviendo la ecuación: h = [(5 + √ ( )] / 2 = 6,75 cm El radio de la base es: r = h – 5 = 6,75 – 5 = 1,75 cm El área laterales: Al = π.r.g = π.r.√ (h2 + r2 ) Al = π.1,75.√ (6, ,752 ) Al = π.1,75.7 = 12,25. π cm2 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

7 Apuntes Matemáticas 2º ESO
Volumen del Cono El volumen de una pirámide hemos visto que es: V = Sb.h / 3 Un cono se puede considerar como una pirámide cuyo polígono de la base tiene infinitos lados. Por tanto tenemos: Y como Sb= π.r2 V = π.r2.h / 3 que es el volumen de un cono. h r @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

8 Apuntes Matemáticas 2º ESO
Ejemplos Ejemplo_1 Hallar el volumen de un cono que tiene 10 cm de diámetro de la base y 12 cm de altura. ¿Cuántos litros caben en el mismo si está hueco?. Radio de la base: r = diámetro / 2 = 10 / 2 El volumen de un cono es: V = Ab.h / 3 = π. r 2. h / 3 = π / 3 = 314 cm3 Sabemos que 1 litro = 1 dm3 Luego cm3 = 314 / 1000 dm3 = 0,314 dm3 = 0,314 litros @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

9 Apuntes Matemáticas 2º ESO
Ejemplos Ejemplo_2 Una pirámide regular de base cuadrada presenta 5 cm por lado de la base y 9 cm por altura. Hallar el radio de la base de un cono de igual altura y volumen. El volumen de la pirámide será: V = Ab.h / 3 = l 2 . h / 3 = / 3 = = 75 cm2 En el cono: V = Ab. h / 3 = π. r 2 . h / 3 75 = π. r 2. 9 / 3 / π. 9 = r 2  8 = r 2 r = 2,82 cm es el radio de la base del cono. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO