RELACIONES INTEGRALES

Gradiente de un campo escalar Definición: El gradiente es evidentemente una función vectorial puntual (campo vectorial). La definición anterior, tiene varias propiedades: es independiente de cualquier elección especial del sistema de coordenadas y puede utilizarse para encontrar la forma explícita del operador en cualquier sistema particular de coordenadas.

Forma explícita del gradiente de un campo escalar Definimos el operador gradiente como:

Teorema de Green Demostraremos que: Considérese que el volumen se divide en un gran número de pequeñas celdas. Puesto que el sentido hacia afuera para una celda es el sentido hacia dentro de la celda adyacente apropiada todas las contribuciones del lado izquierdo de la ecuación anterior se anulan excepto aquellas que provienen de la superficie , lo que demuestra la fórmula anterior.

Llamando:

Operadores sobre un campo vectorial 1) Divergencia: 2) Gradiente: 3) Rotacional: 4) Operador general:

Forma explícita del operador “ * ” Sea el vértice del cubo más cercano al origen

Forma explícita de los operadores 1) Operador general 2) Divergencia 3) Gradiente 4) Rotacional

Teorema general Demostraremos que: Considérese que el volumen se subdivide en un gran número de pequeñas celdas. Puesto que el sentido hacia afuera para una celda es el sentido hacia dentro de la celda adyacente apropiada todas las contribuciones del lado izquierdo de la ecuación anterior se anulan excepto aquellas que provienen de la superficie , lo que demuestra la fórmula anterior.

Llamando Cuando el número de celdas tiende a infinito, se tiene: Y el límite de la suma es la integral sobre el volumen:

Teorema de la divergencia Un caso particular del teorema probado anteriormente es el teorema de la divergencia o de Gauss En notación vectorial En notación indicial

Teorema del gradiente Otro caso particular del teorema general es el del gradiente En notación vectorial En notación indicial

Teorema del rotacional El último caso particular del teorema es el del rotacional En notación vectorial En notación indicial

Aplicación del Teorema de la Divergencia Tomando en el teorema de la divergencia se tiene: Se define derivada normal como: En notación vectorial En notación indicial

Divergencia de un tensor Definición:

Aplicación a la teoría de la Elasticidad Ecuación de Navier:

Primer identidad de Green

Segunda identidad de Grenn Intercambiando por Restando

Integración por partes

Ecuación de Poisson

Integración por partes en la ecuación de Poisson

Teorema de reciprocidad en la ecuación de Poison

Teorema de trabajo y energía en elasticidad

Teorema de reciprocidad de Betti