Matemáticas 2º Bachillerato C. T. MÉTRICA DEL ESPACIO U.D. 11 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

Matemáticas 2º Bachillerato C. T. ÁNGULOS EN EL ESPACIO U.D. 11.1 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS Sea la recta r: (A, u) y la recta s: (B, v) Ambas rectas son secantes, se cortan en un punto. Sus vectores directores serán: u(u1, u2, u3) y v(v1, v2, v3) respectivamente. Mediante el producto escalar, u.u’ =|u|.|v|.cos α, obtenemos el ángulo: cos α = u.v / |u|.|v| u1.v1+u2.v2+u3.v3 cos α = ---------------------------------------------- √(u12+u22 +u32). √(v12 +v22 +v32) |u1.v1+u2.v2+u3.v3| α = arcos ---------------------------------------------- La solución será doble, pues por una parte nos dará α y también el suplementario β α s u u’ β r @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

Matemáticas 2º Bachillerato C. T. Ejemplo 1 Hallar el ángulo que forman las rectas r: (A, u) y la recta s: (B, v) , siendo sus vectores directores: u=(2, 1, - 2) y v=(1, 2, 1) Por el producto escalar: | 3 + 2 – 2 | 3 α = arcos ---------------------------------------- = arcos ---------- = arcos 0,4082 √(22+12 +(-2)2). √(12+22 +12) 3. √6 α = 65,90º  Y el suplementario: β = 114,09º Ejemplo 2 Hallar el ángulo que forman las rectas r: {x – y = 0; y – z = 0} y la recta s: {x + y = 0 ; x + z = 1} i j k i j k r: 1 - 1 0 = i + j + k s: 1 1 0 = i - j - k 0 1 -1 1 0 1 Sus vectores directores serán: u(1, 1, 1) y v(1, -1, -1) respectivamente. | 1 – 1 – 1| 1 α = arcos ------------------------------------------- = arcos ---------- = arcos 0,3333 √(12+12 +12). √(12+(-1)2+(-1)2) √3.√3 α = 70,53º  Y el suplementario: β = 109,47º @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

VECTOR DIRECTOR DEL PLANO VECTOR DIRECTOR DE UN PLANO Sea el plano definido como: π: (A, u, v), siendo A un punto perteneciente al plano y u y v dos vectores del plano. El producto vectorial de u y v nos dará el vector director del plano, el vector normal, N. i j k N= u1 u2 u3 = v1 v2 v3 N = (u2.v3 – u3.v2).i + (u3.v1 – u1.v3).j + + (u1.v2 – u3.v1).k N v π u @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS ÁNGULO DIEDRO Dos planos no coincidentes ni paralelos forman un ángulo diedro. El ángulo que forman dos planos es el ángulo que forman los vectores normales (vectores directores) de los planos. Sean los planos π: Ax+By+Cz+D=0, y π’: A’x+B’y+C’z+D=0. Los vectores normales a dichos planos son: N=(A, B, C) N’=(A’, B’, C’) El ángulo diedro será: |A.A’+B.B’+C.C’| α = arcos ----------------------------------------- √(A2+B2 +C2). √(A’2+B’2+C’2) N N’ α π’ α π @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

Matemáticas 2º Bachillerato C. T. Ejemplo 1 Hallar el ángulo que forman los planos: π1≡ 3x – 4y + 12z – 5 = 0 y π2≡ 4x – 3y + 12z + 5 = 0 Sean sus vectores directores: N1=(3 ,– 4 , 12), N2=(4 ,– 3, 12) Por el producto escalar: | 12 + 12 + 144 | 168 α = arcos ------------------------------------------------- = arcos ---------- = arcos 0,9941 √(32+(– 4)2 +122). √(42+(– 3)2 +122) 13.13 α = 6,24º  Y el suplementario: β = 173,76º Ejemplo 2 Hallar el ángulo que forman los planos: π1≡ 3x – 4y = 0 y π2≡ – 3y + 4z + 5 = 0 Sean sus vectores directores: N1=(3 ,– 4 , 0), N2=(0 ,– 3, 4) | 0 + 12 + 0 | 12 α = arcos ------------------------------------------------- = arcos ---------- = arcos 0,48 √(32+(– 4)2 +02). √(02+(– 3)2 +42) 5.5 α = 61,31º  Y el suplementario: β = 118,69º @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

VECTOR DIRECTOR DE RECTA VECTORES DIRECTOR DE UNA RECTA Sea la recta r: (Ax+By+Cz+D=0, A’x+B’y+C’z+D=0), dada como intersección de dos planos secantes, donde los vectores directores, N y N’ de dichos planos son: N=(A, B, C) N’=(A’, B’, C’) El producto vectorial de N y N’ nos dará el vector director de la recta r . i j k v= N1 N2 N3 = N’1 N’2 N’3 N = (N2.N’3 – N3.N’2).i + + (N3.N’1 – N1.N’3).j + + (N1.N’2 – N3.N’1).k N N’ π’ v π @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO El ángulo que forma una recta y un plano es el complementario al ángulo formado por el vector director de la recta y el vector normal del plano. Sean el plano π: Ax+By+Cz+D=0, y la recta r(A, u), donde u = (u1, u2, u3) El ángulo formado será, mediante el producto escalar de dos vectores: |A.u1+B.u2+C.u3| α = arcos ----------------------------------------- √(A2+B2 +C2). √(u12+u22+u32) Si el ángulo es de 90º la recta será paralela o estará contenida en el plano. Si el ángulo es de 0º la recta es normal al plano. N r α β u π @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

Matemáticas 2º Bachillerato C. T. Ejemplo 1 Hallar el ángulo que forma la recta r: (x,y,z) = (1, 2, 1) + k.(12, 3 ,– 4) y el plano π1≡ 3x – 12y + 4z – 5 = 0 Sean los vectores directores: N1=(3 ,– 12 , 4), u=(12 , 3 , – 4) Por el producto escalar: | 36 – 36 – 16 | 16 α = arcos ------------------------------------------------- = arcos ---------- = arcos 0,0947 √(32+(–12)2 +42). √(122+(– 4)2 +32) 13.13 α = 84,57º  Solución: β = 90º - 84,57 = 5,43º Ejemplo 2 y + 1 Hallar el ángulo que forma la recta r: {(x – 2) = -------- = – z } y el plano π1≡ 3x – 12y + 4z – 5 = 0 3 Sean los vectores directores: N1=(3 ,– 12 , 4), u=(1 , 3 , – 1) | 3 – 36 – 4 | 37 α = arcos ------------------------------------------------- = arcos ---------- = arcos 0,8660 √(32+(–12)2 +42). √(12+(– 1)2 +32) 13.√11 α = 30º  Solución: β = 90º - 30º = 60º @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

Matemáticas 2º Bachillerato C. T. Ejemplo 3 Sea la recta r: (x,y,z) = (1, 2, 3) + k.(5, a ,– 4) y el plano π1≡ 3x – 12y + 4z – 5 = 0 Hallar el valor del parámetro a para que el ángulo que forme la recta con el plano sea de 25º. Sean los vectores directores: N1=(3 ,– 12 , 4), u=(5 , a , – 4) Si β = 25º  α = 90º - 25º = 75º  cos 75º = 0,2588 Por el producto escalar: | 15 – 12.a – 16 | |– 12.a – 1| 0,2588 = ------------------------------------------------ = ----------------- √(32+(–12)2 +42). √(52+(– 4)2 +a2) 13. √(41+a2) Elevando todo al cuadrado: (0,2588.13.√(41+a2)) 2 = (– 12.a – 1) 2 0,0670.169.(41+a2) = 144.a2 + 24.a + 1 464,15 + 11,32.a2 =144.a2 + 24.a + 1 132,68.a2 + 24.a – 463,15 = 0 Resolviendo la ecuación: a= [- 24 +/- √(242 – 4.132,68.(- 463,15))]/2.132,68 a= [- 24 +/- 496,36] / 265,39 = 1,78 y – 1, 96 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.