Apuntes 2º Bachillerato C.T.

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1 Apuntes 2º Bachillerato C.T.
VECTORES EN EL ESPACIO U.D. 9 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

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PRODUCTO ESCALAR U.D * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

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PRODUCTO ESCALAR PRODUCTO ESCALAR El producto escalar de dos vectores libres, u y v, es un escalar ( un número) y se define así: u.v = |u|.|v|. cos[u,v] , si u y v no son nulos. El producto escalar será 0 si u o v son el vector nulo o si son perpendiculares EJEMPLO Hallar el producto escalar: u=(3,4,12) |v|=3 [u,v]=60º |u|=√( )=13 u.v = 13.3.cos 60º u.v = 39.0’5 = 19’5 v [u,v] u @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

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INTERPRETACIÓN INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Si proyectamos el vector v sobre el vector u se nos forma un triángulo rectángulo. Por trigonometría: |v’|=|v|.cos [u,v] Podemos decir que: El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre el primero. u.v = |u|.|v’| De igual manera: u.v = |v|.|u’| u’ v v [u,v] [u,v] v’ u u @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

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Ejemplo Dos vectores u y v son tales que: |u|=4, |v|=6, [u.v]=45º Hallar el producto escalar. Proyectamos el vector v sobre el vector u: |v’|=|v|.cos 45 = 6.√2/2 = 3√2 Producto escalar: u.v = |u|.|v’|=4. 3√2 = 12√2 Proyectamos el vector u sobre el vector v: |u’|=|u|.cos 45 = 4.√2/2 = 2√2 Producto escalar: u.v = |u’|.|v|=2√2.6 = 12√2 u’ v v [u,v] [u,v] v’ u u @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

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EXPRESIÓN ANALÍTICA EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO ESCALAR Sean los vectores libres, u y v, y sea B=(i,j,k) la base canónica del espacio V3: u = xi + yj + zk v = x’i + y’j + z’k u.v = (xi + yj + zk).(x’i + y’j + z’k) u.v = xi.x’i + xi. y’j + xi.z’k + yj.x’i + yj.y’j + yj.z’k + zk.x’i + zk.y’j + zk.z’k u.v = x.x’.(i.i) + x.y’.(i.j) + x.z’.(i.k) + y.x’.(j.i) + y.y’.(j.j) + y.z’(j.k) + + z.x’.(k.i) + z.y’.(k.j) + z.z’.(k.k) Como: i.i=|i|.|i|.cos 0º = = 1 ; de igual manera j.j = 1 e k.k = 1 i.j =|i|.|j|. cos 90º = =0 ; igual que i.k , k.j , j.k , j.i , k.i Queda: u.v = x.x’ + y.y’ + z.z’ @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

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Ejemplos en V3 EJEMPLO_1 Sea el vector v= (6, 8, -2) y u=(2, 3, -5). Hallar el producto escalar. u.v = (2, 3, -5).(6, 8, -2) = (-5).(-2) = = 46 EJEMPLO_2 Sea el vector v= (3, 11, 1) y u=(1, 3, 0). Hallar el producto escalar. u.v = (1, 3, 0).(3, 11, 1) = = = 36 EJEMPLO_3 Sea el vector v= (-2, 4, 1) y u=(5, 2, 2). Hallar el producto escalar. u.v = (5, 2, 2).(-2,4,1) = 5.(-2) = = 0 EJEMPLO_4 Sea el vector v= (-3, 2, 1) y u=(5, -3, 1). Hallar el producto escalar. u.v = (5, -3, 1).(-3, 2, 1) = 5.(-3) + 2.(-3) = – 15 – 6 + 1= – 20 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

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EJEMPLO_5 Sean los vectores |v|= 6 y |u|= 3. Hallar el producto escalar si el ángulo que forman es de 45º. u.v = |u|.|v|. cos 45 = 6.3.0,707 = 18.0,707 = 15,756 EJEMPLO_6 Sean los vectores |v|= 5 y |u|= 7. Hallar el producto escalar si el ángulo que forman es de 60º. u.v = |u|.|v|. cos 60 = 5.7.0,5 = 35.0,5 = 17,5 EJEMPLO_7 Sean los vectores v=(6, -3, -2), u = (-3,7, 2) y |w| = 5. Hallar el producto escalar (u+v).w, si el ángulo que forma el vector w con la suma (u+v) es de 30º. (u+v).w = |u+v|.|w|. cos 30º = |(6-3, -3+7, -2+2)|.5.0,866 = = |(3, 4, 0)|.5.0,866 = √(9+16).5.0,866=√ ,866 = 25.0,866= 21,65 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

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PROPIEDADES 1.- El producto escalar de un vector por si mismo es un número positivo o nulo. u.u = |u|.|u|. cos 0º = |u|2.1 = |u|2 ≥ 0 2.- El producto escalar es commutativo u.v = v.u = |u|.|v|. cos [u,v] 3.- El producto escalar es homogéneo k.(u.v) = (k.u).v = u.(k.v) 4.- Distributiva respecto a la suma w.(u+v) = w.u + w.v @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

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ÁNGULO QUE FORMAN El producto escalar de dos vectores libres, u y v, es un escalar ( un número) y se define así: u.v = |u|.|v|. cos[u,v] Si u=(a, b, c) y v=(a´, b´, c´) u.v = a.a´ + b.b´ + c.c´ Luego tenemos la igualdad: |u|.|v|. cos[u,v] = a.a´ + b.b´ + c.c´ De donde despejamos el ángulo que forman: a.a´ + b.b´ + c.c´ cos[u,v] =  [u,v] = arccos (cos[u,v] |u|.|v| v [u,v] u @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

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Ejemplos en V3 EJEMPLO_1 Sea el vector v= (3, 4, 0) y u=(6,8, 0). Hallar el ángulo que forman. |v| =√ [ ] = √ 25 = 5 |u| =√ [ ] = √ 100 = 10 u.v = (6, 8, 0).(3, 4, 0) = = 50 cos [u,v] = u.v /|u|.|v| = 50 / 5.10 = 50 / 50 =  [u,v] = 0º EJEMPLO_2 Sea el vector v= (-4, 0, 3) y u=(6,-8, 0). Hallar el ángulo que forman. |v| =√ [ (- 4) ] = √ 25 = 5 |u| =√ [ (- 8) ] = √ 100 = 10 u.v = (6, - 8, 0).(- 4, 0, 3) = = - 24 cos [u,v] = u.v /|u|.|v| = - 24 / 5.10 = - 24 / 50 = - 0,48  [u,v] = 119º y [u,v] = 241º @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

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… Ejemplos de cálculo de ángulo entre vectores EJEMPLO_3 Sea el vector v= (2, - 3, -1) y u=(4 , 3, -1). Hallar el ángulo que forman. |v| =√ [ (-3) 2 + (-1) 2 ] = √ 14 |u| =√ [ (-1) 2 ] = √ 24 u.v = (4, 3, -1).(2, -3 , -1) = 8 – = 0 cos [u,v] = u.v /|u|.|v| = 0 / √ (14.24) =  [u,v] = 90º y 270º EJEMPLO_4 Sea el vector v= (0, -5, 0) y u=(3,-3, 0). Hallar el ángulo que forman. |v| =√ [ (- 5) ] = √ 25 = 5 |u| =√ [ (- 3) ] = √ 18 = 4,2426 u.v = (3, - 3, 0).(0, - 5, 0) = = 15 cos [u,v] = u.v /|u|.|v| = 15 / 5.4,2426 = 15 / 21,213 = 0,707  [u,v] = 45º @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

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Aplicación práctica Si una fuerza F no cambia su sentido y mantiene su módulo constante y actúa sobre un objeto que se mueve desde el punto P al punto Q a lo largo del segmento PQ , el trabajo efectuado por F es el producto de la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento por el módulo de PQ. Trabajo de F = |F|. cos α. PQ = F·PQ Ejemplo Una fuerza constante de 40 Nw actúa sobre un objeto bajo un ángulo de 60º mientras recorre una distancia de 5 m. Hallar el trabajo realizado. T= |F|. cos α. PQ = F·PQ = = 40.cos 60º.5 = 100 Julios F α P |F|.cos α Q @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.