INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES RECTANGULARES

Sea la superficie 𝑧=𝑓 𝑥,𝑦 continua sobre una región rectangular 𝐷 de su dominio definida por D= 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 2 / 𝑎 ≤𝑥 ≤𝑏 ; 𝑐 ≤𝑦 ≤𝑑 con 𝒇 𝒙,𝒚 ≥𝟎,∀(𝒙,𝒚)∈𝑫 𝒂 𝒃 𝒄 𝒅 𝒛=𝒇(𝒙,𝒚)

Se pretende encontrar el volumen del solido formado bajo la superficie y sobre la región rectangular D 𝒂 𝒃 𝒄 𝒅 𝒛=𝒇(𝒙,𝒚) 𝑺𝑼𝑷𝑬𝑹𝑭𝑰𝑪𝑰𝑬 𝑹𝑬𝑮𝑰𝑶𝑵 𝑫𝑬 𝑰𝑵𝑻𝑬𝑮𝑹𝑨𝑪𝑰𝑶𝑵

Para determinar una aproximación del volumen del solido, dividimos la región de integración ( D ) , en 𝑛×𝑚 subregiones =∆ 𝒙 𝒊 ∆ 𝒚 𝒋

Sobre cada subregión, construimos una columna hasta la superficie

La altura de cada columna esta determinada por la superficie ℎ=𝑓( 𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑗 )

El volumen de cada columna, viene dada por la expresión 𝑽 𝒊𝒋 = 𝑨𝒓𝒆𝒂 𝒃𝒂𝒔𝒆 ∗𝑨𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 𝑽 𝒊𝒋 =𝒇( 𝒙 𝒊 , 𝒚 𝒋 )∆ 𝑨 𝒊𝒋

Dibujamos las columnas sobre cada subregión, hasta completar toda la región D.

Dibujamos las columnas sobre cada subregión, hasta completar toda la región D.

El Volumen del solido es aproximadamente igual, a la suma de los volúmenes de todas las columnas construidas sobre la región rectangular 𝑉≈ 𝑖=1 𝑛 𝑗=1 𝑚 𝑓 𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑗 ∆ 𝐴 𝑖𝑗 Si el numero de subdivisiones tiende al infinito, entonces ∆ 𝑥 𝑖 →0 ; ∆ 𝑦 𝑗 →0 con lo que ∆ 𝐴 𝑖𝑗 →0

𝑉= 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑉= lim ∆ 𝐴 𝑖𝑗 →0 𝑖=1 𝑛 𝑗=1 𝑚 𝑓 𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑗 ∆ 𝐴 𝑖𝑗 El limite anterior denota la integral doble definida 𝑉= 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥

LIMITES DE LA VARIABLE MAS EXTERNA Se debe tener cuidado con a ubicación de los limites de integración 𝑉= 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 LIMITES DE LA VARIABLE MAS EXTERNA

LIMITES DE LA VARIABLE MAS INTERNA Se debe tener cuidado con a ubicación de los limites de integración 𝑉= 𝑎 𝑏 𝒄 𝒅 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝒚𝑑𝑥 LIMITES DE LA VARIABLE MAS INTERNA

Plantear la integral de 𝑓 𝑥,𝑦 =3𝑥 𝑒 2𝑦 +2𝑥 sobre la región rectangular definida por 𝑅= 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 2 −1≤𝑥≤3 , −1≤𝑦≤2

Área de integración

𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 = −1 3 −1 2 3𝑥 𝑒 2𝑦 +2𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥

Cuando se evalúa una integral doble, evaluamos primero la integral mas interna, es decir cuando la variable de integración es y. 𝑉= 𝑎 𝑏 𝒄 𝒅 𝒇 𝒙,𝒚 𝒅𝒚 𝑑𝑥 Al evaluar la integral con respecto a 𝑦, se considera a 𝑥 como una constante Luego, el resultado obtenido en la primera integral , lo integramos con respecto a la variable 𝑥.

TEOREMA DE FUBINI 𝑎 𝑏 𝒄 𝒅 𝒇 𝒙,𝒚 𝒅𝒚 𝑑𝑥 = 𝑐 𝑑 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙,𝒚 𝒅𝒙 𝑑𝑦 En las integrales de varias variables , se cumple que 𝑎 𝑏 𝒄 𝒅 𝒇 𝒙,𝒚 𝒅𝒚 𝑑𝑥 = 𝑐 𝑑 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙,𝒚 𝒅𝒙 𝑑𝑦 TEOREMA DE FUBINI

1) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑲𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 =𝑲 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 Las integrales dobles, cumplen las mismas propiedades que las integrales definidas en una sola variable 1) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑲𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 =𝑲 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 2) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 (𝑓+𝑔)(𝑥,𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 + 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑔 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑆𝑖 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑥,𝑦 ≤𝑔 𝑥,𝑦 ∀ 𝑥,𝑦 ∈𝐷 entonces 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 ≤ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑔 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥

4) 𝑆𝑖 𝑓 𝑥,𝑦 ≥0,∀ 𝑥,𝑦 ∈𝐷, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 ≥0 Las integrales dobles, cumplen las mismas propiedades que las integrales definidas en una sola variable 4) 𝑆𝑖 𝑓 𝑥,𝑦 ≥0,∀ 𝑥,𝑦 ∈𝐷, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 ≥0 𝑠𝑖 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑠𝑢𝑏𝑟𝑒𝑔𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝐷= 𝐷 1 + 𝐷 2 𝐷 𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝐷 1 𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 + 𝐷 2 𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥

𝑓 𝑥,𝑦 =2 𝑥 2 +4𝑥𝑦 𝐷= 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 2 0≤𝑥≤1 ;0≤𝑦≤2 Por ejemplo Evaluar 𝐷 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 si 𝑓 𝑥,𝑦 =2 𝑥 2 +4𝑥𝑦 𝐷= 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 2 0≤𝑥≤1 ;0≤𝑦≤2 Nos piden que evaluemos la integral de la forma 2 𝑥 2 +4𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 Limites de integración de la variable x

𝑓 𝑥,𝑦 =2 𝑥 2 +4𝑥𝑦 𝐷= 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 2 𝟎≤𝒙≤𝟏 ;0≤𝑦≤2 Por ejemplo Evaluar 𝐷 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 si 𝑓 𝑥,𝑦 =2 𝑥 2 +4𝑥𝑦 𝐷= 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 2 𝟎≤𝒙≤𝟏 ;0≤𝑦≤2 0 1 2 𝑥 2 +4𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 Limites de integración de la variable y

𝑓 𝑥,𝑦 =2 𝑥 2 +4𝑥𝑦 𝐷= 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 2 0≤𝑥≤1 ;𝟎≤𝒚≤𝟐 Por ejemplo Evaluar 𝐷 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 si 𝑓 𝑥,𝑦 =2 𝑥 2 +4𝑥𝑦 𝐷= 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 2 0≤𝑥≤1 ;𝟎≤𝒚≤𝟐 0 1 0 2 2 𝑥 2 +4𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 INTEGRAL A EVALUAR

0 1 0 2 2 𝑥 2 +4𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 0 1 0 2 2 𝑥 2 𝑑𝑦𝑑𝑥 + 0 1 0 2 4𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 Aplicando las propiedades de las integrales dobles 0 1 0 2 2 𝑥 2 +4𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 0 1 0 2 2 𝑥 2 𝑑𝑦𝑑𝑥 + 0 1 0 2 4𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 Evaluamos la integral con respecto a y = 0 1 0 2 𝟐 𝒙 𝟐 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 0 1 0 2 4𝒙𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0 1 𝟐 𝒙 𝟐 0 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 0 1 𝒙 0 2 4𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0 1 𝟐 𝒙 𝟐 𝑦 2 0 𝑑𝑥 + 0 1 𝒙 2 𝑦 2 0 2 𝑑𝑥 = 0 1 𝟐 𝒙 𝟐 2−0 𝑑𝑥 + 0 1 𝒙 2∗ 2 2 −0 𝑑𝑥

Aplicando las propiedades de las integrales dobles = 0 1 4 𝑥 2 𝑑𝑥 + 0 1 8𝑥𝑑𝑥 Ahora evaluamos la integral con respecto a x = 4 3 𝑥 3 0 1 +4 𝑥 2 0 1 = 4 3 1 3 −0 +4( 1 2 −0)

Aplicando las propiedades de las integrales dobles = 4 3 +4 = 4+12 3 = 16 3 0 1 0 2 2 𝑥 2 +4𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 16 3

Por ejemplo Evaluar 𝐷 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 si 𝑎) 𝑓 𝑥,𝑦 =12 𝑥 2 𝑦 3 +6𝑥 𝑦 2 𝑎) 𝑓 𝑥,𝑦 =12 𝑥 2 𝑦 3 +6𝑥 𝑦 2 𝐷= 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 2 −2≤𝑥≤2 ;1≤𝑦≤3 𝑏) 𝑓 𝑥,𝑦 =12 𝑥 2 𝑒 3𝑥𝑦 +6 𝑥 2 𝑒 2𝑦 𝐷= 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 2 0≤𝑥≤2 ;0≤𝑦≤3 𝑐) 𝑓 𝑥,𝑦 =12𝑥𝑆𝑒𝑛(2𝑦+𝑥)+6𝑥 𝑦 2 𝐷= 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 2 0≤𝑥≤ 𝜋 2 ;0≤𝑦≤ 𝜋 4

𝑓 𝑥,𝑦 = 4 2𝑥+4𝑦 𝐷= 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 2 0≤𝑥≤2 ;1≤𝑦≤2 Por ejemplo Evaluar 𝐷 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 si 𝑓 𝑥,𝑦 = 4 2𝑥+4𝑦 𝐷= 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 2 0≤𝑥≤2 ;1≤𝑦≤2 0 2 1 2 4 2𝑥+4𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥

Integramos primero con respecto a y, para ellos aplicamos el método de sustitución 𝑆𝑒𝑎 𝑈=2𝑥+4𝑦 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑈=4𝑑𝑦 Cambio de limites de integración para y 𝑆𝑖 𝑦=1 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑈=2𝑥+4 𝑆𝑖 𝑦=2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑈=2𝑥+8 0 2 1 2 4 2𝑥+4𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 0 2 2𝑥+4 2𝑥+8 𝑑𝑈 𝑈 𝑑𝑥

= 0 2 𝐿𝑛(𝑈) 2𝑥+4 2𝑥+8 𝑑𝑥 = 0 2 𝐿𝑛(2𝑥+8 −𝐿𝑛(2𝑥+4)) 𝑑𝑥 = 0 2 𝐿𝑛(𝑈) 2𝑥+4 2𝑥+8 𝑑𝑥 = 0 2 𝐿𝑛(2𝑥+8 −𝐿𝑛(2𝑥+4)) 𝑑𝑥 = 0 2 𝐿𝑛(2𝑥+8)𝑑𝑥− 0 2 𝐿𝑛(2𝑥+4) 𝑑𝑥 Aplicando integración por partes

0 2 𝐿𝑛(2𝑥+8)𝑑𝑥 𝑈=𝐿𝑛 2𝑥+8 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑈= 2𝑑𝑥 2𝑥+8 𝑑𝑉=𝑑𝑥 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑉 =𝑥 0 2 𝐿𝑛(2𝑥+8)𝑑𝑥 =𝑈𝑉− 𝑉𝑑𝑈 0 2 𝐿𝑛(2𝑥+8)𝑑𝑥 =𝑥𝐿𝑛 2𝑥+8 − 2𝑥𝑑𝑥 2𝑥+8

0 2 𝐿𝑛(2𝑥+8)𝑑𝑥 =𝑥𝐿𝑛 2𝑥+8 − (2𝑥+8−8)𝑑𝑥 2𝑥+8 =𝑥𝐿𝑛 2𝑥+8 − 2𝑥+8 2𝑥+8 − 8 2𝑥+8 𝑑𝑥 =𝑥𝐿𝑛 2𝑥+8 − 1− 8 2𝑥+8 𝑑𝑥 =𝑥𝐿𝑛 2𝑥+8 − 𝑑𝑥 + 8 2𝑥+8 𝑑𝑥

= 𝑥𝐿𝑛 2𝑥+8 −𝑥+4𝐿𝑛(2𝑥+8) 0 2 =2𝐿𝑛 4+8 −2+4𝐿𝑛(4+8) =6𝐿𝑛 12 −2 0 2 𝐿𝑛(2𝑥+8)𝑑𝑥 =6𝐿𝑛 12 −2

0 2 𝐿𝑛 2𝑥+4 𝑑𝑥= 𝑥𝐿𝑛 2𝑥+4 −𝑥+2𝐿𝑛(2𝑥+4) 0 2 0 2 𝐿𝑛 2𝑥+4 𝑑𝑥=4𝐿𝑛 8 −2 Aplicando u procedimiento similar al empleado para calcular la integral anterior, se tiene que 0 2 𝐿𝑛 2𝑥+4 𝑑𝑥= 𝑥𝐿𝑛 2𝑥+4 −𝑥+2𝐿𝑛(2𝑥+4) 0 2 0 2 𝐿𝑛 2𝑥+4 𝑑𝑥=4𝐿𝑛 8 −2 Luego

0 2 1 2 4 2𝑥+4𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 6𝐿𝑛12−2 − 4𝐿𝑛8−2 0 2 1 2 4 2𝑥+4𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 6𝐿𝑛12−4𝐿𝑛8

Por ejemplo Evaluar 𝐷 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 si 𝑎) 𝑓 𝑥,𝑦 = 3𝑥+2𝑦 𝑎) 𝑓 𝑥,𝑦 = 3𝑥+2𝑦 𝐷= 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 2 1≤𝑥≤2 ;0≤𝑦≤2 𝑏) 𝑓 𝑥,𝑦 =𝑆𝑒𝑛(2𝑥+𝑦) 𝐷= 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 2 0≤𝑥≤ 𝜋 4 ;0≤𝑦≤ 𝜋 2 𝑐) 𝑓 𝑥,𝑦 = 4𝑥+2𝑦 3 𝐷= 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 2 −1≤𝑥≤1 ;0≤𝑦≤1

𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝑎 𝑏 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑐 𝑑 ℎ 𝑦 𝑑𝑦 Si la función 𝑓(𝑥,𝑦) se puede factorizar o expresar como el producto de dos funciones de la forma 𝑓 𝑥,𝑦 =𝑔 𝑥 ℎ 𝑦 La integral se puede calcular como 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝑎 𝑏 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑐 𝑑 ℎ 𝑦 𝑑𝑦

Por ejemplo 1 2 0 2 4𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 = 1 2 4𝑥𝑑𝑥 0 2 𝑦𝑑𝑦 = 2 𝑥 2 1 2 𝑦 2 2 0 2 1 2 0 2 4𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 = 1 2 4𝑥𝑑𝑥 0 2 𝑦𝑑𝑦 = 2 𝑥 2 1 2 𝑦 2 2 0 2 = 2∗ 2 2 −2∗ 1 2 2 2 2 = 8−2 2 =12

Por ejemplo 1 2 −1 2 𝑒 2𝑥+3𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 1 2 −1 2 𝑒 2𝑥 𝑒 3𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 1 2 −1 2 𝑒 2𝑥+3𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 1 2 −1 2 𝑒 2𝑥 𝑒 3𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 1 2 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 −1 2 𝑒 3𝑦 𝑑𝑦 = 𝑒 2𝑥 2 2 1 𝑒 3𝑦 3 2 −1 = 𝑒 4 − 𝑒 2 2 𝑒 6 − 𝑒 −3 3

e) 0 𝜋 0 𝜋 𝑆𝑒𝑛 2 (2𝑥) 𝐶𝑜𝑠 2 (3𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 Evaluar las siguientes integrales a) 0 2 0 2 2𝑥𝑒 2𝑥+3𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 b) 0 1 0 2 2𝑥𝑒 2 𝑥 2 +4𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 c) 0 2 0 2 2𝑥+1 3 4𝑥+1 𝑑𝑦𝑑𝑥 d) 1 3 0 1 6𝑥𝑦−4𝑥+3𝑦−2 𝑑𝑦𝑑𝑥 e) 0 𝜋 0 𝜋 𝑆𝑒𝑛 2 (2𝑥) 𝐶𝑜𝑠 2 (3𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥

Cuando las regiones no son rectangulares, se presentan dos casos 1. Cuando la región de integración esta definida por 𝐷= 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 2 / 𝑎≤𝑥≤𝑏 ;ℎ 𝑥 ≤𝑦 ≤𝑔(𝑥) La integral es de la forma 𝒈(𝒙) 𝑎 𝑏 ℎ(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑹𝒆𝒈𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒉(𝒙) 𝒂 𝒃

La integral es de la forma 2. Cuando la región de integración esta definida por 𝐷= 𝑥,𝑦 ∈ 𝑅 2 / ℎ(𝑦)≤𝑥≤𝑔(𝑦) ;𝑐≤𝑦 ≤𝑑 La integral es de la forma 𝒃 𝑹𝒆𝒈𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑐 𝑑 ℎ(𝑦) 𝑔(𝑦) 𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝒈(𝒚) 𝒉(𝒚) 𝒄

Parábola Recta Por ejemplo Evaluar 𝐷 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 si 𝑓 𝑥,𝑦 =2 𝑥 2 𝑦 𝐷 la región comprendida entre las curvas 𝑓 𝑥 =4− 𝑥 2 ; 𝑔 𝑥 =𝑥+1 𝐿𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑞𝑢𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑓𝑖𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑓 𝑥 =4− 𝑥 2 ; 𝑔 𝑥 =𝑥+1 Parábola Recta

Del grafico podemos observar que 𝒇(𝒙) −𝟐,𝟑 ≤𝒙 ≤𝟏.𝟑 𝒙+𝟏 ≤𝒚 ≤𝟒− 𝒙 𝟐 𝒈(𝒙) La integral queda −𝟐,𝟑 𝟏,𝟑 𝒙+𝟏 𝟒− 𝒙 𝟐 (𝟐 𝒙 𝟐 𝒚)𝒅𝒚𝒅𝒙

−𝟐,𝟑 𝟏,𝟑 𝒙+𝟏 𝟒− 𝒙 𝟐 (𝟐 𝒙 𝟐 𝒚)𝒅𝒚𝒅𝒙 = −𝟐,𝟑 𝟏,𝟑 𝒙+𝟏 𝟒− 𝒙 𝟐 (𝟐 𝒙 𝟐 𝒚)𝒅𝒚 𝒅𝒙 = −𝟐,𝟑 𝟏,𝟑 𝒙 𝟐 𝒙+𝟏 𝟒− 𝒙 𝟐 (𝟐𝒚)𝒅𝒚 𝒅𝒙 = −𝟐,𝟑 𝟏,𝟑 𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 𝟒− 𝒙 𝟐 𝒙+𝟏 𝒅𝒙 = −𝟐,𝟑 𝟏,𝟑 𝒙 𝟐 𝟒− 𝒙 𝟐 𝟐 − 𝒙+𝟏 𝟐 𝒅𝒙

= −𝟐,𝟑 𝟏,𝟑 𝒙 𝟐 𝟏𝟔−𝟖 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟒 − 𝒙 𝟐 −𝟐𝒙−𝟏 𝒅𝒙 = −𝟐,𝟑 𝟏,𝟑 𝒙 𝟐 𝟏𝟓−𝟗 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟒 −𝟐𝒙 𝒅𝒙 = −𝟐,𝟑 𝟏,𝟑 𝟏𝟓 𝒙 𝟐 −𝟖 𝒙 𝟒 + 𝒙 𝟔 −𝟐 𝒙 𝟑 𝒅𝒙

= 5 𝑥 3 − 8 5 𝑥 5 + 𝑥 7 7 − 𝑥 4 2 −2.3 1.3 = 5 (1.3) 3 − 8 5 1,3 5 + 1,3 7 7 − 1,3 4 2 − 5 (−2.3) 3 − 8 5 −2,3 5 + (−2,3) 7 7 − (−2,3) 4 2 −𝟐,𝟑 𝟏,𝟑 𝒙+𝟏 𝟒− 𝒙 𝟐 (𝟐 𝒙 𝟐 𝒚)𝒅𝒚𝒅𝒙 =16,0643092

𝑓 𝑥,𝑦 =4𝑥+2𝑦 Evaluar la integral 𝑓(𝑥)≤3𝑥+6 𝑔 𝑥 ≤3 ℎ 𝑥 ≥ 𝑥 2 +2𝑥 𝐷 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 Evaluar la integral 𝑓 𝑥,𝑦 =4𝑥+2𝑦 Donde D es la región del plano definida por 𝑓(𝑥)≤3𝑥+6 𝑔 𝑥 ≤3 ℎ 𝑥 ≥ 𝑥 2 +2𝑥 Lo primero que debemos hacer es visualizar la región de integración, para ello hacemos 𝑓 𝑥 =3𝑥+6 𝑔 𝑥 =3 ℎ 𝑥 = 𝑥 2 +2𝑥 Recta creciente Recta paralela al eje x Parábola

𝑨 𝟐 𝑨 𝟏

𝒚=𝟑 𝒚=𝟑𝒙+𝟔 𝑨 𝟐 𝑨 𝟏 𝒚= 𝒙 𝟐 +𝟐𝒙

𝒚=𝟑 𝒚=𝟑𝒙+𝟔 𝑨 𝟐 𝑨 𝟏 −𝟐 −𝟏 𝟏 𝒚= 𝒙 𝟐 +𝟐𝒙 −𝟐 −𝟏 𝒙 𝟐 +𝟐𝒙 𝟑𝒙+𝟔 𝟒𝒙+𝟐𝒚 𝒅𝒚𝒅𝒙 −𝟏 𝟏 𝒙 𝟐 +𝟐𝒙 𝟑 𝟒𝒙+𝟐𝒚 𝒅𝒚𝒅𝒙

−𝟐 −𝟏 𝒙 𝟐 +𝟐𝒙 𝟑𝒙+𝟔 𝟒𝒙+𝟐𝒚 𝒅𝒚𝒅𝒙 = −2 −1 4𝑥𝑦+ 𝑦 2 𝑥 2 +2𝑥 3𝑥+6 𝑑𝑥 = −2 −1 4𝑥 3𝑥+6 + (3𝑥+6) 2 − 4𝑥 𝑥 2 +2𝑥 + 𝑥 2 +2𝑥 2 𝑑𝑥 = −2 −1 21 𝑥 2 +60𝑥+36 − 𝑥 4 +8 𝑥 3 +12 𝑥 2 𝑑𝑥

= −2 −1 9 𝑥 2 +60𝑥+36−8 𝑥 3 − 𝑥 4 𝑑𝑥 = 3 𝑥 3 +30 𝑥 2 +36𝑥−2 𝑥 4 − 𝑥 5 5 −2 −1 = −10,8 − −1,6 =−9,2

= −1 1 4𝑥𝑦+ 𝑦 2 𝑥 2 +2𝑥 3 𝑑𝑥 = −1 1 12 𝑥 2 +9 − 𝑥 4 +8 𝑥 3 +12 𝑥 2 𝑑𝑥 −𝟏 𝟏 𝒙 𝟐 +𝟐𝒙 𝟑 𝟒𝒙+𝟐𝒚 𝒅𝒚𝒅𝒙 = −1 1 4𝑥𝑦+ 𝑦 2 𝑥 2 +2𝑥 3 𝑑𝑥 = −1 1 4𝑥 3 + (3) 2 − 4𝑥 𝑥 2 +2𝑥 + 𝑥 2 +2𝑥 2 𝑑𝑥 = −1 1 12 𝑥 2 +9 − 𝑥 4 +8 𝑥 3 +12 𝑥 2 𝑑𝑥

= −1 1 9−8 𝑥 3 − 𝑥 4 𝑑𝑥 = 9−2 𝑥 4 − 𝑥 5 5 −1 1 = 6,8 − 7,2 =−0,4 𝐷 4𝑥+2𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥=−9,2−0,4=−9,6

0 2 0 4− 𝑥 2 𝑥 𝑒 𝑦 4−𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 0 2 𝑥 0 4− 𝑥 2 𝑒 𝑦 4−𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Evaluar la integral 0 2 0 4− 𝑥 2 𝑥 𝑒 𝑦 4−𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 Si intentamos resolver la integral directamente, 0 2 𝑥 0 4− 𝑥 2 𝑒 𝑦 4−𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Vemos que la integral con respecto a y, es muy compleja de resolver, para simplificar los cálculos hacemos un intercambio de diferenciales,

Dibujamos la región de integración 𝟒 Trabajamos con los limites de integración 𝒚=𝟒− 𝒙 𝟐 𝒙= 𝟒−𝒚 𝟎≤𝒙≤ 𝟒−𝒚 𝟎≤𝒚≤𝟒 Desarrollamos la integral en la forma 𝟐

0 4 0 4−𝑦 𝑥 𝑒 𝑦 4−𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦= 0 4 𝑒 𝑦 4−𝑦 0 4−𝑦 𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 0 4 𝑒 𝑦 4−𝑦 𝑥 2 0 4−𝑦 𝑑𝑦 = 0 4 𝑒 𝑦 4−𝑦 4−𝑦 2 𝑑𝑦

= 0 4 𝑒 𝑦 4−𝑦 4−𝑦 𝑑𝑦 = 0 4 𝑒 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑒 𝑦 0 4 = 𝑒 4 −1