Historia del Análisis Matemático Tema 3: De la intuición al Cálculo Diferencial. Antecedentes del Cálculo. Inventores del Cálculo: I. Newton y G. Leibniz. Primeros desarrollos: L. Euler, J. L. Lagrange y J.R. D´Alembert. Desarrollo formal del Cálculo diferencial. Tema 4: Ecuaciones diferenciales y Análisis Funcional. Ecuaciones diferenciales clásicas. Teoría de Operadores

Bibliografía: Carl B. Boyer. Historia de la matemática. Ed. Alianza Universidad Textos. Madrid, 1986 . M. Kline. Mathematical thought from ancient to modern times. Oxford University Press, New York, 1972. Versión española en Alianza Editorial Madrid, 1992.

Exposición de Temas 1. Sesión (miércoles 2-o4 ) a) La razón áurea y b) Números triangulares, cuadrados, pentagonales., etc. 2. Sesión (miércoles 9-o4) a) J. Wallis y b) Los Bernouilli. 3) Sesión (miércoles 23-o4 ) a) R. L. Baire y b) J. Fourier. 4) Sesión (miércoles 30-04) a) H. L. Lebesgue y b) V. Newman

3.1 Antecedentes del Cálculo. Aritmética y abstracción. Procesos infinitos. Desde la Edad Media hasta el siglo XVII.

Aritmética y abstracción Vivimos rodeados de números y multitud de modelos matemáticos regulan nuestro modelo de civilización. Estamos tan acostumbrados a contar que cuesta trabajo imaginar un mundo sin números. Sin embargo el desarrollo de esta capacidad llevó un largo tiempo en la historia del hombre. Incluso en nuestros días se tienen noticias de tribus aisladas que no saben contar más allá de cuatro o cinco objetos; cuando tienen que referirse a una cantidad mayor emplean una expresión que quiere decir "muchos". Aún quedan arcaísmos en nuestro lenguaje de términos distintos para referir a la misma cantidad: par de zapatos, yunta de bueyes.

Aritmética y abstracción El calendario, y posteriormente el comercio, favoreció el proceso de contar colecciones concretas de objetos, Se facilitan los cálculos mediante el uso de objetos materiales, como hojas secas o piedrecillas (nuestra palabra cálculo proviene del latín “calculi” (que significa guijarros). Una vez adquirida la capacidad de contar, posiblemente obligados por el desarrollo de la agricultura, el siguiente paso es el de medir magnitudes tales como longitudes, superficies, volúmenes o tiempos.

Aritmética y abstracción En el momento actual, la mayoría de los autores y expertos coinciden en afirmar que los textos matemáticos más antiguos de los que tenemos conocimiento proceden de Mesopotamia, de una de las ciudades sumerias: Uruk. Sumerios y babilonios ya utilizaban complejos sistemas de numeración y otros procedimientos matemáticos. Se conservan textos matemáticos cuneiformes de hace más de 5.000 años. Los conocimientos matemáticos de los egipcios fueron rudimentarios pero muy prácticos. Las aportaciones de China, Japón y de India quedan fuera de nuestro alcance. Las aportaciones más trascendentes en el devenir histórico se desarrollaron en la Grecia clásica.

GRECIA   1000 a.C.: Los dorios invaden Grecia. Comienza la civilización griega o helena. Desde el siglo VI a.C. hasta la caída del imperio romano con Justiniano (527). Se fundamenta la matemática como ciencia deductiva: disciplina en la que se deducen proposiciones verdaderas a partir de otras deducidas con anterioridad o evidentes.

Procesos mentales que desarrollan: La abstracción: capacidad para percibir una cualidad en varios objetos. La inducción: capacidad para percibir una cualidad en cosas iguales. La demostración por deducción de los entes físicos . Se enuncian los axiomas, y a partir de estos las proposiciones o teoremas. También utilizan la “reductio ad absurdum”. La noción de demostración se afianza con Euclides, Arquímedes y Apolonio.

Grecia El conocimiento de los autores y logros de la época arcaica no han llegado a nuestros días de forma directa sino indirecta. Sólo son conocidos por las referencias que otros hacen de ellos (Platón, Aristóteles, Arquímedes, Proclo -410-485, etc) Con ellos se termina la etapa precientífica

Tales de Mileto (585 a. C.) Racionalidad: explicación de los fenómenos naturales sin acudir a causas extra-naturales, Logró conquistas perdurables en la matemática, mediante la demostración rigurosa de sus propiedades.

Pitágoras de Samos (585 a. c. ?) No tenemos certeza de la existencia de Pitágoras. Sin duda, existió una escuela Pitagórica donde se mezclaban por igual la ciencia, la filosofía, la mística, la política, los ritos arcaicos. Tienen un culto al número, Agrupaban los números en series y como consecuencia obtuvieron resultados importantes acerca de los números triangulares, cuadrados, rectángulos, pentagonales, hexagonales, piramidales, etc.

Números triangulares Teorema. La suma de T n y Tn-1 es un cuadrado perfecto o, si se quiere usar la terminología pitagórica, un número cuadrado. T n + Tn-1 =n^2 En 1796, el matemático y científico alemán Carl Friedrich Gauss descubrió que todo entero positivo puede representarse como la suma de un máximo de tres números triangulares,

Números pentagonales El n-ésimo número pentagonal pn es el número de s puntos en un patrón de puntos distintos, consistente en el contorno de pentágonos regulares cuyos lados contienen n puntos, superpuestos, de forma que tienen en común el vértice.

Números y puntos La justificación de la creencia en los números como el principio constitutivo de la physis reside en la confusión del punto geométrico con la unidad aritmética. Los pitagóricos supusieron que el espacio y el tiempo pueden ser imaginados como constituidos por puntos e instantes. En efecto, observaron que la yuxtaposición de puntos engendra líneas, la yuxtaposición de líneas engendra superficies, la yuxtaposición de superficies engendra cuerpos,.. de ahí concluyeron que los puntos son las unidades reales que componen los cuerpos de naturaleza. Los números no tienen sentido separados de los objetos materiales o ideales a los que enumeran. Así, "tres árboles“ tiene sentido, pero "tres“ por sí mismo carece de significado, es decir, un número es un atributo de un grupo de objetos y carece de autonomía propia. Solamente consideran como números los enteros positivos y ni siquiera consideraban como número a la unidad.

Números racionales Medida de magnitudes Método de Medida para medir un segmento AB Comparamos este segmento con otro AU fijado como medida de referencia. (1) Con suerte, el segmento AB contiene un número exacto de veces (p) al segmento AU, en tal caso se dice que AB = pAU. (2) En otro caso, subdividimos el segmento AU en n partes iguales, y tomamos la primera de éstas, AU’, con la esperanza de que AB contenga al nuevo segmento un número exacto de veces. Así, si AU = nAU’ y AB = mAU’, entonces decimos que las longitudes AB y AU son conmensurables y que la razón de AB respecto de AU es m/n. Este último cociente es meramente comparativo, no es un concepto abstracto. El nombre de número racional alude, precisamente, a que tales números representan razones de segmentos conmensurables.

El pentágono envenenado El Pentágono venerado es venerado como figura mística. Contiene los números principales,… Hipaso de Metaponto ( siglo V a.C.) consideró inicialmente un pentágono regular y un pentágono interior construido por las diagonales. Este proceso puede continuarse indefinidamente con el resultado de que vamos obteniendo pentágonos que llegan a ser tan pequeños como queramos, … pero, después de continuar el proceso, el pentágono, ¿podría reducirse a un punto?

Drama de los Pitagóricos Esta reducción equivaldría a que, tomado un lado inicialmente como unidad, puede subdividirse hasta encontrar otro segmento AU’, de forma que la diagonal lo contenga un número exacto de veces, o si se quiere, a que la diagonal y el lado del pentágono regular sean conmensurables. Hipaso, que inicialmente fue pitagórico, al estudiar las propiedades geométricas del pentagrama descubrió que ambos segmentos no son conmensurables. .

El pentagrama envenenado La relación entre la diagonal del pentágono y su lado encerraba un número no racional: la razón áurea.   Este hecho, del que Aristóteles menciona otra demostración basada en la distinción de lo par e impar, supuso un impacto brutal en la línea de flotación de los procesos de aritmetización.

El imperio de la geometría La carencia de una teoría aritmética satisfactoria de las cantidades inconmensurables, es decir, de los números irracionales, hizo que los matemáticos griegos consideraran la Geometría (esto es, los métodos geométricos) como una ciencia más general que la Aritmética (el uso de los números), y dedicaran sus esfuerzos al estudio de la primera en detrimento de la última. Nace así el imperio de la geometría: todo razonamiento matemático riguroso se expresó en lenguaje geométrico.

La edad de plata. Tras el oscurecimiento del pensamiento y la creación tras la muerte de Arquímedes, encontramos en el siglo III un cierto resurgir gracias a matemáticos como Diofanto (considerado padre el Álgebra al introducir símbolos ideados por él en su obra “Aritmética”) o Pappus de Alejandría.

Diofanto (214 – 298 d. C.) En su obra “Aritmética”: resuelve diversos tipos de ecuaciones algebraicas admitiendo como soluciones números enteros o números fraccionarios positivos. Consideró los fraccionarios positivos como auténticos números y no solamente como proporciones.

Inicio de la época heroica: mitad del siglo V a.c. Anaxágoras de Clazomene (500 - 428 a.c.) : Deseo de conocer: Mientras estaba en prisión se ocupó del problema de la cuadratura del círculo: Construir con sólo regla y compás un cuadrado con el mismo área que un círculo dado.

Problema de las cuadraturas Construir un cuadrado con área igual a la de la figura dada. Reglas del juego (ver “Elementos de Euclides” (c. 300 a.C.)): Esta construcción debía hacerse con regla no graduada y compás, en un número finito de pasos, cada uno de ellos consistente en: 1 Trazar una recta que una dos puntos. 2 Trazar una circunferencia de centro y radio arbitrarios. 3 Intersecar dos de las figuras anteriores. En la antigua Grecia se sabía cuadrar casi cualquier polígono.

Otros problemas de cuadratura Duplicación del cubo: (Pericles - oráculo de Delos-) Dada la arista de un cubo se trata de construir, usando únicamente la regla y el compás, la arista de otro cubo que tenga volumen doble que el del primero. Trisección de un ángulo: Dado un ángulo arbitrario, construir un ángulo igual a un tercio del ángulo dado. Más de 2200 años más tarde se iba a demostrar que estos tres problemas eran insolubles con el uso único de la regla y el compás (Teoría de Galois 1811-1832). Pero, ¿cuantos resultados y avances han motivado?