DETERMINANTES U.D. 2 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES U.D. 2.2 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

REGLA DE SARRUS REGLA DE SARRUS El valor de un determinante es la suma de los productos de todos los elementos de cada diagonal principal (de izquierda a derecha), menos la suma de los productos de todos los elementos de cada diagonal secundaria (de derecha a izquierda). Cada elemento aij del determinante formará parte de un producto positivo y de un producto negativo. Para determinantes [2x2]: |A| = a11.a22 - a12.a21 Para determinantes [3x3]: |A| = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a21.a32.a13 - - a13.a22.a31 - a12.a21.a33 - a11.a23.a32 Para determinantes [nxn] en general: Se procede a desarrollar, como veremos más adelante, el determinante dado en función de una sola fila o columna, resultando al final del proceso determinantes 2x2 o/y 3x3 únicamente. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

PROPIEDADES PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES I.- Si en un determinante intercambiamos filas por columnas, su valor no varia. Sea el | 4 1 3 | | 4 2 1 | | 2 2 5 | = | 1 2 3 | | 1 3 2 | | 3 5 2 | II.- Si todos los elementos de una fila o columna son ceros, su valor es nulo. Sea el | 4 0 3 | | 2 0 5 | = 0 | 1 0 2 | III.- Si en un determinante se permutan dos filas o dos columnas, su valor cambia de signo. Sea el | 4 1 3 | | 4 3 1 | | 2 2 5 | = – | 2 5 2 | | 1 3 2 | | 1 2 3 | @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

PROPIEDADES PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES IV.- Si un determinante tiene dos filas o dos columnas iguales o proporcionales, su valor es cero. Sea el | 4 4 3 | | 4 1 3 | | 2 2 5 | = 0 | 8 2 6 | = 0 | 1 1 2 | | 1 3 2 | V.- Si todos los elementos de una fila o de una columna se multiplican por un número, el valor del determinante queda multiplicado por dicho número. Sea el | 4 1 3 | | 12 3 9 | | 2 2 5 | = – 21 ; x 3  | 2 2 5 | = – 63 | 1 3 2 | | 1 3 2 | @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

PROPIEDADES PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES VI.- Si todos los elementos de una fila o columna son suma de dos (o más) términos, el determinante es igual a la suma de dos (o más) determinantes. Sea el | 7 1 3 | | 4 1 3 | | 3 1 3 | | 13 2 5 | = | 8 2 5 | + | 5 2 5 | | 11 3 2 | | 6 3 2 | | 5 3 2 | VII.- Si todos los elementos de una fila o columna se suman a los correspondientes de otra multiplicados por un número, el valor del determinante no varía. Sea el | 4 1 3 | | 4+7.1 1 3 | | 11 1 3 | | 2 2 5 | = | 2+7.2 2 5 | = | 16 2 5 | | 1 3 2 | | 1+7.3 3 2 | | 22 3 2 | @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Verificación Verificar las propiedades de los determinantes. I.- Si en un determinante intercambiamos filas por columnas, su valor no varia. Sea el | 4 1 3 | | 4 2 1 | | 2 2 5 | = | 1 2 3 | | 1 3 2 | | 3 5 2 | 4.2.2+1.5.1+2.3.3–3.2.1–1.2.2–5.3.4 = 16 + 5 + 18 – 6 – 4 – 60 = – 31 4.2.2+2.3.3+1.5.1–1.2.3–21.2–3.5.4 = 16 + 5 + 18 – 6 – 4 – 60 = – 31 II.- Si todos los elementos de una fila o columna son ceros, su valor es nulo. Sea el | 4 0 3 | | 2 0 5 | = 0 | 1 0 2 | 4.0.2+0.5.1+2.0.3–3.0.1–0.2.2–5.0.4 = 0 + 0 + 0 – 0 – 0 – 0 = 0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Verificar las propiedades de los determinantes. III.- Si en un determinante se permutan dos filas o dos columnas, su valor cambia de signo. Sea el | 4 1 3 | | 4 3 1 | | 2 2 5 | = – | 2 5 2 | | 1 3 2 | | 1 2 3 | 4.2.2+1.5.1+2.3.3–3.2.1–1.2.2–5.3.4 = 16 + 5 + 18 – 6 – 4 – 60 = – 31 4.5.3+3.2.1+2.2.1–1.5.1–2.2.4–3.2.3 = 60 + 6 + 4 – 5 – 16 – 18 = + 31 IV.- Si un determinante tiene dos filas o dos columnas iguales o proporcionales, su valor es cero. Sea el | 4 4 3 | | 4 1 3 | | 2 2 5 | = 0 | 8 2 6 | = 0 | 1 1 2 | | 1 3 2 | 4.2.2+4.5.1+2.1.3–3.2.1–4.2.2–5.1.4 = 16 + 20 + 6 – 6 – 16 – 20 = 0 4.2.2+8.3.3+1.6.1–3.2.1–1.8.2–6.3.4 = 16 + 72 + 6 – 6 – 16 – 72 = 0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Verificar las propiedades de los determinantes. V.- Si todos los elementos de una fila o de una columna se multiplican por un número, el valor del determinante queda multiplicado por dicho número. Sea el | 4 1 3 | | 12 3 9 | | 2 2 5 | = – 21 ; x 3  | 2 2 5 | = – 63 | 1 3 2 | | 1 3 2 | 4.2.2+1.5.1+2.3.3–3.2.1–1.2.2–5.3.4 = 16 + 5 + 18 – 6 – 4 – 60 = – 31 12.2.2+3.5.1+2.3.9–9.2.1–3.2.2–5.3.12 = 48+15+54–18– 2– 80 = – 93 VI.- Si todos los elementos de una fila o columna son suma de dos (o más) términos, el determinante es igual a la suma de dos (o más) determinantes. Sea el | 7 1 3 | | 4 1 3 | | 3 1 3 | | 13 2 5 | = | 8 2 5 | + | 5 2 5 | | 11 3 2 | | 6 3 2 | | 5 3 2 | 7.2.2+13.3.3+1.5.11-3.2.11-1.13.2-5.3.7 = 28+117+55-66-26-105 = 3 4.2.2+8.3.3+1.5.6-3.2.6-1.8.2-5.3.4 = 16+72+30-36-16-60 = 6 3.2.2+5.3.3+1.5.5-3.2.5-1.5.2-5.3.3 = 12+45+25-30-10-45 = 82-85 = - 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Verificar las propiedades de los determinantes. VII.- Si todos los elementos de una fila o columna se suman a los correspondientes de otra multiplicados por un número, el valor del determinante no varía. Sea el | 4 1 3 | | 4+7.1 1 3 | | 11 1 3 | | 2 2 5 | = | 2+7.2 2 5 | = | 16 2 5 | | 1 3 2 | | 1+7.3 3 2 | | 22 3 2 | 4.2.2+1.5.1+2.3.3–3.2.1–1.2.2–5.3.4 = 16 + 5 + 18 – 6 – 4 – 60 = – 31 11.2.2 + 1.5.22 + 16.3.3 – 3.2.22 – 1.16.2 – 5.3.11 = = 44 + 110 + 144 – 132 – 32 – 165 = 298 – 329 = – 31 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.