HISTORIA DE LOS LOGARITMOS DIANA LORENZO DEL ÁLAMO HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS

INTRODUCCIÓN Se crearon para simplificar el cálculo de multiplicaciones, divisiones, potencias y extracción de raíces de números muy grandes o con muchos decimales Para ello se crearon las tablas de logaritmos Hoy en día, la utilización de los logaritmos para el cálculo está en desuso (ordenadores y calculadoras), pero es fundamental en la cultura matemática básica.

PRECURSORES DEL DESCUBRIMIENTO LOS BABILONIOS (3000 aC – s.VI aC ) Se han encontrado tablas de tipo exponencial (o logarítmico) con las 10 primeras potencias para las bases 9, 16, 1.40, 3.45 Se planteaban problemas: “A qué potencia debe elevarse un cierto número para obtener otro número” No utilizaban sus “tablas de logaritmos” para simplificar sus calculo, sino para resolver problemas muy concretos

PRECURSORES DEL DESCUBRIMIENTO ARQUÍMEDES DE SIRACUSA (aprox. 250 aC) Es el primero que compara sucesiones aritméticas con geométricas Ejemplo: Regla de Arquímedes: “para multiplicar entre sí dos números cualesquiera de la sucesión de abajo, debemos sumar los dos números de la sucesión de arriba situados encima de aquéllos dos. Luego debe buscarse en la misma sucesión de arriba dicha suma, y el número de la sucesión inferior que le corresponda debajo será el producto deseado” A los números de la primera sucesión los llamaremos “logaritmos” y a los de la segunda “antilogaritmos” 1 2 3 4 5 6 7 8 16 32 64 128

PRECURSORES DEL DESCUBRIMIENTO IBN YUNUS (siglo XI) Matemático árabe y paisano de Alhazen Introdujo la fórmula: 2*cos(x)*cos(y) = cos (x + y)*cos(x – y) Fórmula de transformación de productos a sumas Prostafairesis: método de convertir productos en sumas

PRECURSORES DEL DESCUBRIMIENTO NICOLAS CHUQUET (siglo XV) Escribió “triparty en la science des nombres” en 1484, donde pone nombre a las potencias: champs, cubiez, champs de champ, etc. Construye una tabla de las sucesivas potencias de dos con exponentes de 0 a 20; y nota que a la suma de los exponentes le corresponde el producto de las potencias.

PRECURSORES DEL DESCUBRIMIENTO MIGUEL STIFEL (1487-1567) Extiende las tablas de Chuquet incluyendo las potencias negativas -1, -2, -3, de dos En 1544 publica “Arithmetica integra”, donde introduce am * an = am+n para n y m racionales Observa la correspondencia entre las progresiones aritméticas y geométricas: Progresión aritmética Progresión geométrica adición multiplicación sustración división potencia extracción de raíces

INVENCIÓN DE LOS LOGARITMOS CONTEXTO HISTÓRICO A partir del siglo XVI, los cálculos que se precisaban hacer, debido a la expansión comercial y al perfeccionamiento de las técnicas de navegación, eran de tal magnitud que surgía la necesidad de encontrar algoritmos (de multiplicación y división) menos laboriosos que los utilizados hasta entonces Los cálculos trigonométricos aplicados a la astronomía y a la navegación, y el cálculo de las riquezas acumuladas inspiraron respectivamente a John Napier y a Jobst Bürgi a descubrir los logaritmos

INVENCIÓN DE LOS LOGARITMOS JOHN NAPIER (1550-1617) Reflexionó sobre la sucesiones de potencias de un número dado de Stifel y Arquímedes Pensó que una sucesión de potencias enteras de base entera dejaba muchos huecos entre los términos sucesivos y la interpolación era bastante imprecisa Influido por la “prostafairesis” “Mirifi logarithmorum canonis descriptio” de 1614 “Mirifi logarithmorum canonis constructio” de 1619

INVENCIÓN DE LOS LOGARITMOS Napier toma el número 1- 10-7 = 0.9999999 Para evitar los decimales, multiplica todas las potencias por 107 Define: N = 107*(1 - 1/107)L donde L es el logaritmo de Napier del número N Logaritmo de 107 es cero, y logaritmo de 107*(1 - 1/107) es uno Diferencia entre los logaritmos de Napier y los de ahora: el logaritmo de un producto no es exactamente igual a la suma de los logaritmos N1 = 107*(1 - 1/107)L1 N2 = 107*(1 - 1/107)L2 N1*N2/107 = 107*(1 - 1/107)L1+L2

INVENCIÓN DE LOS LOGARITMOS HENRY BRIGGS (1561-1630) Propuso a Napier la creación de tablas utilizando potencias de 10, y acordaron log 1 = 0 y log 10 = 1. Briggs fue quien construyo estas tablas de logaritmos llamados de base vulgar o logaritmos de Briggs Partió de la igualdad log 10 = 1 y fue calculando otros logaritmos tomando raíces, por ej: √10 = 3.162277 → log √10 = 0.5 La primera columna de la tabla es una progresión aritmética (logaritmos) y la segunda es geométrica (antilogaritmos) n=log10N N=antilog10n 1 10 0.875 107/8=7.4980 0.750 103/4=5.6234 0.625 105/8=4.2170 0.500 101/2=3.1623 0.375 103/8=2.3714 0.250 101/4=1.7783 0.125 101/8=1.3385

INVENCIÓN DE LOS LOGARITMOS PUBLICACIONES IMPORTANTES Briggs: “Logarithmorum chilias prima”, 1617 “Arithmetica logarithmica”, 1624 John Speidell: “New Logarithmes”, de 1619 Una obra de Vlacq y Decker con los logaritmos del 1 al 100000, en 1628 William Ouhtred establece las propiedades de los logaritmos: Log (m*n) = log m + log n Log (m/n) = log m – log n Log mn = n*log m

INVENCIÓN DE LOS LOGARITMOS JOBST BÜRGI (1552-1632) Fue el primero en desarrollar la idea de los logaritmos (en 1586) pero lo publicó mucho después que Napier en “Arithmetische und geometrische progress-tabulen” en 1620 Definió N = 108*(1 + 1/104)L , donde N será el logaritmo de Bürgi del número L. Bürgi parte de una progresión aritmética de primer término 0, razón 10 y último término 32000 (números rojos). La progresión geométrica correspondiente empieza con el número 108 y razón 1 + 1/104 (números negros)

INVENCIÓN DE LOS LOGARITMOS DIFERENCIAS ENTRE LOGARITMOS DE NAPIER Y BÜRGI Napier toma 1 - 1/107, y Bürgi toma 1 + 1/104, que está muy cercano al verdadero valor del número e (base de los actuales logaritmos neperianos) (1 + 1/104)10^4 = 2.7184593…; e = 2.718281828… Napier multiplica en sus tablas todos los términos por 107, mientras que Bürgi lo hace por 108.

DESCUBRIMIENTOS POSTERIORES GREGOIRE DE SAINT VINCENT (1584-1667) En 1630 escribió “Opus geometricum quadraturae circuli et sectionun coni”, donde creía haber cuadrado el círculo y la hipérbola. Aunque se equivocó en la cuadratura del círculo, argumentaba que las áreas bajo la hipérbola se parecían a los logaritmos: según crece la abscisa geométricamente, el área bajo la curva x*y=1 crece aritméticamente. Esto no se tuvo muy en cuenta porque perdió credibilidad al equivocarse en cuadrar el círculo Descubrió: Área bajo la hipérbola y=1/(x+1) desde 0 a x es ln (1+x) Antonio de Sarasa, en “Opus geometricum”, además de defenderle, descubrió que el área de la hipérbola entre 1 y x (Área [1, x)) tenía propiedad de logaritmo: Área [1, x*y) = Área [1, x) + Área [x, x*y) = Area [1, x) + Area [1, y)

DESCUBRIMIENTOS POSTERIORES NICOLAUS MERCATOR (1620-1687) “Logarithmotechnia”, en 1668. Contiene fórmulas de aproximación para el cálculo de logaritmos. Por ejemplo: Área(1/(x+1)) = ln (x+1) = x/1 - x2/2 + x3/3 - x4/4 + … Mercator llamó logaritmos naturales a los valores que se obtienen por medio de esta serie Más tarde, Mengoli descubrió: ln 2 = Σ (-1)n+1/n = 1/1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + … + (-1)n+1/n

DESCUBRIMIENTOS POSTERIORES CURVA LOGARÍTMICA Torricelli propone la gráfica, pero es Huygens quien expone sus propiedades en “discurso sobre la causa de la gravedad”, en 1690 LOGARITMOS DE NÚMEROS NEGATIVOS Jean Bernoulli creía que log (-n) = log n. Pero Euler probaría que no es cierto LEONHARD EULER (1707-1783) En su “Introductio in analysin infinitorum” de 1748 descubre m = logap ↔ am = p Define e como la base del sistema de logaritmos naturales: ex = (1+x/j)j para j muy grande Relaciona los números e y π con 0 y 1 en la famosa igualdad: eπi + 1 = 0

CONCLUSIONES Y APLICACIONES Los logaritmos serán de gran ayuda para el nacimiento de la física matemática a finales del siglo XVII. La utilización de los logaritmos sigue las siguientes direcciones: Aplicadas al cálculo de fórmulas geométricas, utilizadas en astronomía, navegación y agrimensura. Aplicadas a todo cálculo multiplicativo, lo que llevó a la construcción de reglas de cálculo y a la elaboración de algoritmos La introducción por Newton y Leibniz del cálculo diferencial e integral Quienes más utilizaron los logaritmos fueron los astrónomos. Uno de ellos, Laplace, dijo: “los logaritmos han duplicado la vida de los astrónomos”

EJEMPLOS DE APLICACIONES DE LOS LOGARITMOS Economía: algunos índices de crecimientos son exponenciales. En la banca se utilizan para medir el crecimiento de los depósitos de acuerdo al tiempo Intensidad del sonido: la “altura” del sonido es proporcional al logaritmo de la frecuencia Psicología: se utiliza en la ley Weber-Fechner, de estímulo-respuesta Música: los grados de tonalidad de la escala cromática no son equidistantes ni por el número de vibraciones ni por la longitud de las ondas de los sonidos respectivos, sino que representan los logaritmos de estas magnitudes. El pentagrama es una escala logarítmica

EJEMPLOS DE APLICACIONES DE LOS LOGARITMOS Química: para calcular el PH de las sustancias: PH = -log10H+ Geología: en la Escala de Richter, que mide las fuerzas de las vibraciones que existen en un seísmo. Esta intensidad se puede conocer gracias a esta escala creada en base a los logaritmos Estadística: para calcular el crecimiento de la población Astronomía: las estrellas se dividen según el grado de luminosidad visible en astros de 1ª, 2ª, 3ª, etc., magnitud. La luminosidad objetiva constituye una progresión geométrica de razón 2.5. En pocas palabras, al establecer la luminosidad visible de una estrella, el astrónomo opera con las tablas de logaritmos de base 2.5