Estudio del movimiento U.1 Cinemática Introducción al cálculo vectorial

Introducción al cálculo vectorial Un vector es un ente matemático que se representa en el plano como un segmento orientado. Dirección Los elementos de un vector son: Sentido Módulo Punto de aplicación

Si lo multiplicamos por 3 Producto de un vector por un número Es otro vector de igual dirección que el primero y módulo igual al del primer vector multiplicado por ese número. A Si lo multiplicamos por 3 3 A El vector 3 A tiene la misma dirección y el mismo sentido que el vector A

¿Qué ocurre si multiplicamos un vector Producto de un vector por un número ¿Qué ocurre si multiplicamos un vector por un número negativo? A Si lo multiplicamos por −3 −3 A El vector −3 A tiene la misma dirección pero sentido contrario al vector A

Queremos calcular la suma de A + B Suma de vectores Queremos calcular la suma de A + B En el método del paralelogramo se trazan líneas paralelas a las direcciones de cada vector y que pasan por el extremo del otro vector Unimos el origen del ambos vectores con la intersección de las líneas paralelas En el método del polígono se coloca un vector a continuación del otro Unimos el origen del primer vector con el extremo del último Ese segmento orientado es el vector suma de los otros dos S = A + B B B S = A + B A SUMAR polígono SUMAR paralelogramo

B − A B R = B − A A − B − B R = A − B − A A Sustracción de vectores RESTAR A – B RESTAR B – A Haz clic sobre el botón cuya acción quiere que se realice El vector opuesto es un vector de igual módulo y dirección pero de sentido contrario El vector opuesto es un vector de igual módulo y dirección pero de sentido contrario Por último, se une el origen de A con el extremo de − B Restarle a A el vector B es igual que sumar al vector A el opuesto del B Tenemos los vectores A y B. Queremos restarle a A el vector B. Por último, se une el origen de B con el extremo de − A Restarle a B el vector A es igual que sumar al vector B el opuesto del A Tenemos los vectores A y B. Queremos restarle a B el vector A. Ahora se coloca – B a continuación de A Ahora se coloca – A a continuación de B B − A B R = B − A A − B − B R = A − B − A A Ese segmento orientado es el resultado de restarle al vector A el vector B Ese segmento orientado es el resultado de restarle al vector B el vector A

Utilización de algunos applets para ejercitarse en la suma y sustracción de vectores Utilización de algunos applets para ejercitarse en la resta de vectores

A Componentes de un vector Se llama componente de un vector respecto a un eje a la proyección del vector sobre ese eje La componente x del vector será la proyección sobre el eje X Tengamos un vector de módulo A, cuyo origen es el punto 1 (x1, y1) y su extremo es el punto 2 (x2, y2) La componente y del vector será la proyección sobre el eje Y 2 y2 A Ay = y2 – y1 Ay a 1 y1 x1 Ax x2 Ax = x2 – x1 Ax = A cos a Ay = A sen a Relación de las componentes con el módulo del vector y el ángulo que forma con el eje X

Signo de las componentes Una componente puede ser positiva o negativa, según corresponda al signo de la diferencia de coordenadas del extremo y el origen del vector Será positiva cuando x2 > x1 Ax = x2 – x1 Será negativa cuando x2 < x1 Será cero cuando x2 = x1 Será positiva cuando y2 > y1 Ay = y2 – y1 Será negativa cuando y2 < y1 Será cero cuando y2 = y1

Eje Y Eje X A A = Ax + Ay A = Ax i + Ay j Expresión del vector en función de sus componentes Si multiplicamos la componente de un vector respecto a un eje por un vector unitario en la dirección de ese eje tenemos un vector Al multiplicar la componente Ax por el vector i tenemos el vector Ax Al multiplicar la componente Ay por el vector j tenemos el vector Ay El vector A se puede escribir como suma de Ax y de Ay Eje Y A Ay = Ay j j Ax = Ax i Eje X i A = Ax + Ay A = Ax i + Ay j

A C B D Medida de los ángulos El ángulo se mide desde el semieje x positivo en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj 300º A 210º Componente x: positiva Componente y: positiva Componente x: positiva Componente y: negativa Componente x: negativa Componente y: negativa Componente x: negativa Componente y: positiva C 150º B 30º D El vector D forma un ángulo de 300º con el semieje x positivo. El vector A forma un ángulo de 30º con el semieje x positivo. El vector B forma un ángulo de 150º con el semieje x positivo. El vector C forma un ángulo de 210º con el semieje x positivo.

¿Hay ángulos negativos? Un ángulo que se mide desde el semieje x positivo en el mismo sentido que las agujas del reloj se dice que es un ángulo negativo 300º – 60º

Resolución de ejercicios A.5.- Lanzamos un balón con v = 5 m/s que forma un ángulo de 40º con la horizontal. Calcula las componentes. A.6.- Sobre una caja de 20 kg se tira con una fuerza de 170 N que forma un ángulo de 20º con la vertical. Calcula las componentes de esa fuerza. A.7.- Un cuerpo cuyo peso es 80 N está colocado sobre un plano inclinado 20º sobre la horizontal. Calcula las componentes del peso en las direcciones paralela y perpendicular al plano inclinado.