XXIII OLIMPìADA MATEMÀTICA 2012 FASE PROVINCIAL PROVA INDIVIDUAL 12 - 14 ANYS IES “ALFONSO XIII”, VALL D’ALBA, 19 DE MAIG DE 2012

Solució.- Si el 40% del total d’arbres son 80 arbres, en l’hort hi han Problema 1.- En un hort hi ha plantades 80 garroferes, la qual cosa suposa el 40% del total d’arbres. El propietari planta 30 garroferes més i 20 oliveres. Quin és el percentatge que correspon a les oliveres després de la plantació? Solució.- Si el 40% del total d’arbres son 80 arbres, en l’hort hi han Després de la plantació hi hauran junt a les (200 – 80 =) 120 oliveres inicials unes altres 20 d’un total de (200 + 50 =) 250 arbres. Per tant el percentatge d’oliveres serà:

Problema 2.- Completa la taula següent, si sabem que l’edat de Pere és el doble de l’edat d’Anna, Laura té tres anys més que Joan i aquest en té cinc menys que Anna. Edats Pere Laura Joan Anna fa cinc anys actual dins d’una dècada x Solució.- Hem d’anar traduint les frases de l’enunciat al llenguatge algebraic Si Laura té tres anys més que Joan  L’edat actual de Joan és x-3 Si Joan té cinc anys menys que Anna  L’edat actual de Anna és x – 3 + 5 = x + 2 Si Pere té el doble d’edat que Anna  L’edat actual de Pere és 2(x + 2) = 2x + 4 La primera fila surt al restar cinc a la segona fila La tercera fila surt al sumar 10 a la segona fila Edats Pere Laura Joan Anna fa cinc anys actual dins d’una dècada 2x-1 x-5 x-8 x-3 2x+4 x x-3 x+2 2x+14 x+10 x+7 x+12

Problema 3.- Quants camins diferents hi ha en el següent plànol, des de l’entrada fins a l’eixida, sense passar dues vegades pel mateix lloc? Solució.- Una situació típica per anar veient, poc a poc, les diferents possibilitats. Utilitzarem un diagrama d’arbre. Comencem per A. De A es pot passar a B o a D. Si agafem B aleshores podem anar a C o a E i després a F C F Si hem agafat D, necessariament hem de passar a E y després a F o a B. Amb aquesta última possibilitat , a continuació hem de passar a C i per últim a F B E F A B C F D E F Els diferents camins seran: ABCF; ABEF; ADEF; ADEBCF

Problema 4.- El diàmetre de la circumferència és de 8 m, calcula l’àrea ombrejada de la següent figura i el percentatge que representa l’àrea ombrejada respecte de la total. Solució: Si tracem el diàmetre de la circumferència ens podem adonar de seguida que la part ombrejada correspon a mitja circumferència de radi 4 i dues mitges circumferències de radi 2, així doncs: Per tal de trobar el percentatge que suposa respecte de l’àrea total, cal saber l’àrea total que serà: π· 42 = 16 π cm2. El percentatge d’àrea ombrejada serà:

Problema 5. - Quants cubs hi ha en els següents apilaments Problema 5.- Quants cubs hi ha en els següents apilaments? N’estàs segur? Indica el nombre mínim i màxim de cubs. Solució.- No podem saber amb absoluta certesa la quantitat de cubs que hi ha als apilaments perquè no podem determinar amb exactitud els que no estan visibles, és per això que només podrem comptar el nombre mínim i màxim. Cal suposar que els cubs poden “estar volant” és a dir en forma de pont o d’aqüeducte perquè en cas contrari no tindria sentit el segon dels apilaments. També cal suposar que no hi han cubs “ocults” per baix o al fondo de les peces, es a dir que les peces descansen sobre un pla horitzontal i estan recolzats sobre un pla vertical

7 - 2 9 - 4 6 2 - 2 En total , el nombre màxim de cubs és: (9 + 6 + 7 + 2 =) 24 El nombre mínim de cubs és: ( 24 – (2 + 4 + 2) =) 16

8 - 4 5 - 2 5 9 - 4 En total , el nombre màxim de cubs és: (5 + 8 + 5 + 9 =) 27 El nombre mínim de cubs és: ( 27 – (4 + 2 + 4) =) 17