Trazado de curvas: Funciones crecientes y decrecientes. Unidad 2: La derivada Trazado de curvas: Funciones crecientes y decrecientes.

¡Interrogante! Si el ingreso por ventas en una empresa viene dado por la expresión: donde t es el tiempo para los próximos seis meses. Sin trazar la gráfica de esta función, ¿Podemos determinar en qué intervalos de tiempo las ventas serán decrecientes?

Observe el comportamiento de las siguientes curvas: y y=f (x) y y=g (x) y x x Una función f es creciente en un intervalo I, si para todo x1 < x2 en el intervalo I, entonces f (x1) < f (x2) Una función g es decreciente en un intervalo I, si para todo x1 < x2 en el intervalo I, entonces g (x1) > g (x2)

Criterios para funciones monótonas (crecientes y decrecientes) x y=f (x) ] [ a b y x y=g (x) ] [ a b y Sea f diferenciable en el intervalo ]a; b[: Si f ´(x) > 0 para todo x en ]a; b[, entonces f es creciente en ]a; b[. Si f ´(x) < 0 para todo x en ]a; b[, entonces f es decreciente en ]a; b[.

Extremos relativos de una función: y

Extremos relativos de una función: Se denomina valor extremo de una función f a un valor máximo o un valor mínimo de la misma. x y c f (c) a b Una función f tiene un máximo relativo en x = c, si existe un intervalo ]a; b[ que contenga a c sobre el cual f (c) > f (x) para todo x en el intervalo. El máximo relativo es f (c).

Extremos relativos de una función: y c f (c) a b Una función f tiene un mínimo relativo en x = c, si existe un intervalo ]a; b[ que contenga a c, si f (c) < f (x) para todo x en el intervalo. El mínimo relativo es f (c).

Condición necesaria para extremos relativos Si f tiene un extremo relativo en c, entonces f ´(c) = 0 o bien f ´(c) no existe. x y

Valor crítico: Punto crítico: Un número c del dominio de f tal que f es continua en c se denomina valor crítico de f si f ´(c) = 0 o f ´(c) no está definida. Punto crítico: Si c es un valor crítico, entonces el punto (c; f (c)) se denomina punto crítico.

Criterio de la 1ra derivada para extremos relativos Sea “c” un valor crítico para f (x). El punto crítico correspondiente (c; f (c)) es: Un máximo relativo si f (x) > 0 a la izquierda de “c” y f (x) < 0 a la derecha de “c” Un mínimo relativo si f (x) < 0 a la izquierda de “c” y f (x) > 0 a la derecha de “c”

x y c Para una función continua y derivable en x = c, si f (c) es un extremo relativo entonces: f ´(c) = 0. Lo contrario no sucede. x y c Es decir, en x = c, si f ´(c) = 0, no necesariamente f (c) es un extremo relativo pues se puede presentar el punto de silla.

Valores críticos, extremos relativos y puntos silla f ´>0 f ´<0 f ´<0 f ´<0 f ´>0 f ´>0 f ´<0