Matemáticas “Unidad 2: Algebra” Tema: Factorización

Factorización Consiste en escribir una expresión algebraica en forma de multiplicación. Ahora haremos el proceso inverso al de los productos notables. Es decir, ahora debemos representar con una cantidad menor de términos cada expresión.

Factores de una expresión Son las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto a la primera expresión. Ejemplos: x2 + 2x = x (x + 2) factor factor x2 – x – 2 = (x – 2) (x + 1) factor factor

Factorización de un polinomio Es convertir la expresión en el producto compuesto por sus factores Todo polinomio puede ser descompuesto en dos o más factores distintos de 1. Los polinomios se pueden descomponer de distintas maneras las cuales se explicaran a continuación.

Factorización de un polinomio Cuando todos los términos tienen un factor común Ejemplos: 10a + 30ax2 = 10 1 a 10 3 a x x +       = 10 a ( ) 1 + 3 x2 En ambos términos

Factorización de un polinomio 18 m x y2 – 54 m x2 y2 + 36 m y2 = 18 m x y y – 18 18 3 m x x x y y + 18 m y y 1               En cada uno de los términos = 18 m y2 ( ) x – 3 x2 + 1 En todos los términos

Factorización de un polinomio Cuando todos los términos tienen un polinomio como factor común Ejemplos: 2x (a – 1) – y (a – 1) = (a – 1) (2x – y) factor m (x + 2) + (x + 2) = (x + 2) (m + 1) factor

a x + a y + b x + b y ( a x + b x ) + ( a y + b y ) = = x (a + b) + y Cuando se agrupan los términos factor común Ejemplos: a x + a y + b x + b y ( a x + b x ) + ( a y + b y ) = factor factor = x (a + b) + y (a + b) (a + b) ( ) x + y =

Cuando un trinomio es un cuadrado perfecto o algún otro producto notable Una cantidad es cuadrado perfecto cuando se cumple que es el cuadrado de otra, es decir, se cumple que: a2 2ab + b2 = (a b)(a b)

4x2 + 25y2 – 20xy = 4x2 – 20xy + 25y2 = (2x) – 2 (2x) (5y) + (5y) 2 2 Ejemplos: 4x2 + 25y2 – 20xy = 4x2 – 20xy + 25y2 = (2x) – 2 (2x) (5y) + (5y) 2 2 = ( ) 2x – 5y 2 Se puede aplicar también si el primero y/o el tercer termino son expresiones algebraicas.

Cuando un trinomio no es un cuadrado perfecto o algún otro producto notable se puede transformar a cuadrado perfecto por adición o sustracción.

Ejemplos: x4 + x2y2 + y4 x4 + 2 x2y2 + y4 x4 + x2y2 y4 + x2y2 – x2y2 No es un cuadrado perfecto x4 + x2y2 + y4 1 Es un cuadrado perfecto x4 + 2 x2y2 + y4 2 Para llegar de a : 1 2 x4 + x2y2 y4 + x2y2 – x2y2 Se le suma cero y4 x4 2 x2y2 + – x2y2 = ( x2 + y2 ) 2 – x2y2 Cuadrado perfecto + = ( x2 + y2 ) ( xy ) 2 – 2 = ( x2 + y2 ) – xy + xy Diferencia de cuadrados ( x2 + y2 ) 2 2

Trinomios de la forma x2 bx c que cumplen con las siguientes condiciones: Coeficiente del primer termino 1 Primer término es una letra elevada al cuadrado Segundo término tiene la misma letra que el primero elevado a uno y su coeficiente es una cantidad cualquiera Tercer término es independiente (sin letra) Ej: y2 – 8y +15

Ejemplo: x 2 + 5 x + 6 = ( ) x + 2 ( ) x + 3 + + = + 2 + 3 = 5 2  3 = ( ) x + 2 ( ) x + 3 + + = +  2 + 3 = 5 Se tiene que buscar dos números cuya suma sea 5 y cuyo producto sea 6 Al multiplicar los signos: 2  3 = 6

Trinomios de la forma ax2 bx c que cumplen con las siguientes condiciones: Coeficiente del primer termino distinto de 1 Primer término es una letra elevada al cuadrado Segundo término tiene la misma letra que el primero elevado a uno y su coeficiente es una cantidad cualquiera Tercer término es independiente (sin letra) Ej: 3a2 + 7a – 6

Ejemplo: 6 x2 – 7 x – 3 (6) 6 x2 – (6) 7 x – (6) 3 2 (6x) – 7 (6x) – Se multiplica por el coeficiente de x2 (6) 6 x2 – (6) 7 x – (6) 3    Trinomios de la forma x2 bx c 2 (6x) – 7 (6x) – 18  – – = +  La suma y la multiplicación es entre un número positivo y otro negativo ( ) 6x – 9 ( ) 6x + 2 2 – 9 = – 7 2  - 9 = – 18

6x2 – 7x – 3 = (6x – 9) (6x – 2) 6 = 3 (2x – 3) 2 (3x – 1) 2 3 Aunque ya se factorizó el polinomio hay que recordar que se multiplicó por seis por lo que para no alterar el polinomio hay que dividirlo por el mismo valor. 6x2 – 7x – 3 = (6x – 9) (6x – 2) 6 = 3 (2x – 3) 2 (3x – 1) 2  3 (2x – 3) (3x – 1) =

Cuando la expresión es un cubo perfecto de un binomio. ( a + b )3 = a3 + 3 a b2 3 a2 b b3 ó –

3 = ( ) 2x2 – 3y3 8 x6 + 54 x2 y9 – 27 y9 – 36 x4 y3 Ejemplo: 3 3 ( ) 2x2 – 3y3

Ej: 3 x + 1 = ( ) x + 1 ( ) x x 1 1 2 + 2 3 a – 8 = ( ) a – 2 ( ) a a Cuando la expresión es una suma o diferencia de cubos perfectos. Ej: cubo ( 13 ) cuadrado 3 x + 1 = ( ) x + 1 ( ) x – x 1 1 2 + 2  Signo contrario el que se encuentra en término anterior cubo ( x3 ) cuadrado cubo ( 23 ) cuadrado 3 a – 8 = ( ) a – 2 ( ) a + a 2 2 2 – 2  Signo contrario el que se encuentra en término anterior Cubo ( a3 ) cuadrado