Trigonometría conceptos básicos Montoya.-

Medición de ángulos Para el estudio de las funciones circulares , un ángulo además de medirse en los sistemas sexagesimal y centesimal , se mide en el sistema circular Sistema sexagesimal: la rotación de una circunferencia corresponde a un ángulo de 360º La unidad básica es el grado sexagesimal corresponde a una parte de la rotación completa, por tanto un grado sexagesimal es la 360 ava parte de una rotación completa. Ad3emas: 1º=60` ; 1`=60``

El sistema circular El radian: Es una medida de ángulo mucho más moderna , de finales del siglo XIX Un ángulo mide 1 radian , si la medida del arco que subtiende un ángulo central tiene la misma longitud que el radio de la misma circunferencia. En una circunferencia “caben” alrededor de 6,28….radianes 360º=6,28…rad = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑.

Medición de ángulos en radián.

Razones trigonométricas básicas Razones trigonométricas directas.

Razones trigonométricas inversas.

cofunciones Se definen del siguiente modo: Función Cofunción seno coseno tangente cotangente secante cosecante

Cuadrantes circulares

Signos de las funciones trigonométricas. En todos los cuadrantes , la hipotenusa es positiva(es la medida de la hipotenusa y se refiere al módulo de esta) El signo de la medida de los catetos depende del cuadrante del triangulo referente.

Regla de signos según cuadrantes. II III IV Sen + - Cos Tang Cotg Sec cosec

Resumen de signos

Funciones trigonométricas de los ángulos notables en el primer cuadrante

Razones trigonométricas de los ejes

Resumen

Reducción al primer cuadrante Cualquier ángulo puede ser reducido al primer cuadrante , tomando como referencia el eje horizontal: 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 0±𝛼 =𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝛼 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 180±𝛼 =𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝛼 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 360±𝛼 =𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝛼 !Se debe considerar el signo del cuadrante!

En el triángulo se verifican las siguientes igualdades fundamentales. 𝑠𝑒𝑛𝛼= 𝑎 𝑐 ; 𝑐𝑜𝑠𝛼= 𝑏 𝑐 ;𝑡𝑔𝛼= 𝑎 𝑏 ;𝑡𝑔𝛼= 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 ;𝑠𝑒𝑛𝛼∗𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝛼=1 , 𝑐𝑜𝑠𝛼∗𝑠𝑒𝑐𝛼=1, 𝑡𝑔𝛼∗𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼=1 𝑠𝑒𝑛𝞫= 𝑎 𝑐 ; 𝑐𝑜𝑠𝞫= 𝑏 𝑐 ;𝑡𝑔𝞫= 𝑎 𝑏 ;𝑡𝑔𝞫= 𝑠𝑒𝑛𝞫 𝑐𝑜𝑠𝞫 ;𝑠𝑒𝑛𝞫∗𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝞫=1 , 𝑐𝑜𝑠𝞫∗𝑠𝑒𝑐𝞫=1, 𝑡𝑔𝞫∗𝑐𝑜𝑡𝑔𝞫=1 𝑐 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 (Pitágoras) 𝑠𝑒𝑛 2 𝛼+ 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼=1 𝑠𝑒𝑛 2 𝛽+ 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽=1

Grafico de la función f(x) = senx Domf : ℜ Recf= −1,1

Gráfico de la función f(x) = cosx Domf : ℜ Recf= −1,1

Gráfico de la función f(x) = tagx Domf : ℜ Recf= ℜ

Grafico de la función f(x) = cosecx Domf : ℜ Recf= ℜ− −1,1

Grafico de la función f(x) = secx Domf : ℜ Recf= ℜ− −1,1

Gráfico de la función f(x) = cotgx Domf : ℜ Recf= ℜ

Resumen de gráficos

aplicaciones sen𝛼 , 𝑐𝑜𝑠𝛼 , 𝑡𝑎𝑔𝛼 , 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑐𝛽 , En el triángulo rectángulo en C , determine : sen𝛼 , 𝑐𝑜𝑠𝛼 , 𝑡𝑎𝑔𝛼 , 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑐𝛽 , 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐í𝑝𝑟𝑜𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑛𝛽

Complete la tabla , según el signo que le corresponde a la función del ángulo. 15 250 98 197 150 308 338 73 100 Sen Cos Tag Sec Cosec cotg

Complete la tabla según se indica: 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135 210 315 Sen Cos Tag Sec Cosec cotg Complete la tabla según se indica:

Complete la tabla que se indica: Funcion , f(x) = Dominio Recorrido Senx Cosx Tagx Secx Cosecx cotgx

Indique si es posible o no , cada uno de los valores que se indican: Sena=-0,587 Cotgb=2,37 Sec m=2,36 Secu= 136𝑥10 −4 Cosp=0,032 𝑥10 −1 Sec v=0,0035 𝑥10 3 Tag d= 2𝑥 10 23

En el sistema de ejes , grafique la función f(x) = senx

Calcule el valor de cada una de las expresiones que se indican: 1) 𝑠𝑒𝑛 2 45+ 3 𝑐𝑜𝑠30−2 2 𝑠𝑒𝑐45º−2𝑐𝑜𝑠𝜋 2) tag45 +2 3 𝑡𝑎𝑔30− 𝑠𝑒𝑛 2 60− 𝑠𝑒𝑛 2 30 3) 2 2 𝑠𝑒𝑛45−3𝑐𝑜𝑠 𝜋 2 +4 3 𝑐𝑜𝑠30+4𝑐𝑜𝑠60 4) 3𝑡𝑔45−2𝑐𝑜𝑠180−3𝑠𝑒𝑛270+4 3 𝑐𝑜𝑠60 5) 𝑠𝑒𝑛 2 315+ 2 𝑐𝑜𝑠315− 1 2 𝑐𝑜𝑠225 6) 𝑡𝑔315−2 2 𝑠𝑒𝑐315+ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2 210 7) 𝑠𝑒𝑛 2 150+ 2 𝑐𝑜𝑠225− 1 3 𝑐𝑜𝑠330 8) 𝑡𝑎𝑔135−2 2 𝑠𝑒𝑐315+ 𝑐𝑜𝑠𝑐 2 210

Deduzca las formulas de: Sen de la suma de dos ángulos Coseno de la suma de dos ángulos Tangente de la suma de dos ángulos Sen del ángulo doble Coseno del ángulo doble Sen del ángulo medio Coseno del ángulo medio Tangente del ángulo medio.

Si : 𝑐𝑜𝑠𝛼= 2 5 6 Calcule: 𝑠𝑒𝑛2𝛼 cos2𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛼 2 cos 𝛼 2

Si : sen𝛼=0,2 Calcule: 𝑠𝑒𝑛2𝛼 cos2𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛼 2 cos 𝛼 2

resuelva aplicando trigonometría: El ángulo de elevación del remate de una chimenea a una distancia de 90 metros es 30º. Calcule la altura de la chimenea. Hallar el ángulo de elevación del sol cuando la sombra de un poste de 6 metros empotrado verticalmente en el suelo es de 2 3 metros de larga. Los ángulos de elevación de la cúspide de un campanario es de 45º , desde la parte superior del poste , que tiene 12 metros de alto , el ángulo de elevación es de 40º . Calcule la altura y la distancia al campanario.

La altura de una colina es de 990 metros sobre el nivel de un plano horizontal .desde un punto P de dicho plano , la elevación angular de la cima de la coolina es de 60º .Un globo se eleva desde el punto P y asciende verticalmente con velocidad uniforme ;después de 5 minutos , la elevación de la cima de la colina, para un observador que esta en el globo , es de 30º.calcular la velocidad de ascensión del globo. Desde la parte superior de un faro , a 80 metros por encima del horizonte , los ángulos de depresión de dos rocas que están directamente al oeste del observador son 75º y 15º .calcule la distancia que las separa.