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FUNCIONES BÁSICAS Tema : Ciclo 2006-02
UNIVERSIDAD PERUANA DE CIENCIAS APLICADA TÓPICOS DE MATEMÁTICA 1 (E. P. E.) SISTEMAS Ciclo Tema : FUNCIONES BÁSICAS
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FUNCIÓN Una función es una regla o correspondencia que asigna a cada número de entrada un único número de salida. Al conjunto de número de entrada se llama dominio de f y se denota por Dom(f). Al conjunto de números de salida se llama rango de f y se denota por Ran(f).
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f(x) = x + 2 Si x= 1 ==> f( 1) = 3 x= -4 ==> f(-4) = -2 Entrada
PROCESO Entrada Salida Por ejemplo: f(x) = x + 2 Si x= 1 ==> f( 1) = 3 x= ==> f(-4) = -2
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Una variable que representa los números de entrada para una función se llama variable independiente. La que representa los números de salida es una variable dependiente. Ejemplo Variable independiente A(r) = r2 Variable dependiente
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Dominio no especificado
Considere una función: y = f(x) x: se denomina variable independiente (toma cualquier valor del dominio) y: se denomina variable dependiente (porque su valor depende de x) Si Dom(f) no se especifica, entonces, el Dom(f) es el conjunto más grande de valores de x para los que f(x) existe.
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Ejemplo Determine el dominio de: a) b) c) d)
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FUNCIONES BASICAS
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4 3 c 2 1 Función Constante f(x) = c
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4 3 2 b 1 -1 -2 -3 Función Afín f(x) = ax + b
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Función Cuadrática 4 3 2 1 f(x) = x2
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3 2 1 -1 -2 -3 Función Cúbica f(x) = x3
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Función valor absoluto 4 3 2 1 -1 f(x) = |x|
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Función raíz cuadrada 4 3 2 1 -1 f(x) = x
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3 2 1 -1 -2 -3 Función Recíproca f(x) = 1/x
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ECUACIÓN CUADRÁTICA Si: ax2+bx+c=0 , entonces: Resolver: 5x2-2x-7=0 (x-2)2+(x+1)2=(x+3)2
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La función exponecial natural y = ex y la función logaritmo natural y = ln x
1 y = ex y = ln x x y
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i) epeq=e p+q ii) iii) (ep)r=epr
Definición: Si x es cualquier número real, entonces ln y = x si y sólo si e x = y Teorema Si p y q son números reales y r es un número racional,entonces i) epeq=e p+q ii) iii) (ep)r=epr
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ECUACIÓN EXPONENCIAL Resolver: e 3x-1=e2 e3x-1=5 3e 3x-1=2ex+1 e2x+5 = 1
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ECUACIÓN LOGARITMICA Resolver: Log2(2x-1)=4 Log(3x+5)=-2 Ln(x-2)=5
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Funciones Seno y Coseno Ecuaciones trigonométricas
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Introducción Puente Tacoma en el estado de Washington.
El puente fue terminado y abierto al público en el año de 1940 y rápidamente se observó que se inducían grandes oscilaciones en la calzada cuando el viento soplaba a través del puente. Se le llamó puente galopante. El 07 de noviembre del mismo año el puente se derrumbó completamente debido a las grandes oscilaciones.
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Conceptos previos 60° 187 m Determina la altura de la torre Eiffel, si los elementos que se conocen son el ángulo de elevación y la longitud de la sombra proyectada sobre el piso.
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Razones trigonométricas
Conceptos previos Razones trigonométricas sen() = cos() = tan() = Hipotenusa Cateto opuesto Cateto adyacente
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Triángulos rectángulos notables
Conceptos previos L 45° Triángulos rectángulos notables 45° 30° 60° 2L 30° - 60°
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Conceptos previos Ejercicio1 Si es un ángulo agudo y cos() =3/4 , calcular los valores de las seis funciones trigonométricas de . Ejercicio 2 Calcular los valores de las funciones trigonométricas de 30°, 45° y 60°.
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Circunferencia unitaria
Conceptos Circunferencia unitaria La circunferencia unitaria es la circunferencia radio 1 centrado en el origen del plano xy. Su ecuación es: 1
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Conceptos Definición de función Periódica.
Una función f es periódica si existe un número T real positivo, tal que f(x+T)=f(x), para todo x del dominio de f. El mínimo número real positivo T, si existe se llama periodo de f.
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La gráfica de la función y = sen(x), se puede obtener dándole valores a x desde 0 hasta 2
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La gráfica de la función y = cos(x), se puede obtener dándole valores a x desde 0 hasta 2
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¿Qué relación podemos observar entre las gráficas de la función sen(x) y cos(x)?
Podemos observar que la gráfica de la función sen(x) tiene un desfase de , con respecto a la gráfica de la función cos(x), es decir:
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¿Cómo varía la gráfica de la función sen(x), al cambiar los valores de los parámetros A , , ?
Donde: |A| = Amplitud T = Periodo = f = Frecuencia = = Desfasamiento
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¿Cuál es el cambio que sufre la gráfica de la función y = sen(x), al variar parámetros tales como A, >0, ?
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A = 1
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A = 1.2
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A = 1.8
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A = 2
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A = 1.8
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A = 1
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A = 0.8
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A = 0.4
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A = 0.6
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A = 1
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1. A partir de la grafica de la función trigonométrica, trace la grafica de la función, sin localizar puntos.
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2. Determine la amplitud y el período de la función f(x) = 2sen(x/2).
3. Determine la amplitud, el período y trazar la gráfica de f(x) = 2sen(-3x).
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Ecuaciones trigonométricas:
Son aquella que contiene expresiones de trigonometría. Solución: Son los valores que puede tomar x para la cual la ecuación se convierte en una identidad. Nota: tener en cuenta el signo de las funciones trigonométricas en los diferentes cuadrantes.
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4. Determine las soluciones de la ecuación sen(x)=1/2
4. Determine las soluciones de la ecuación sen(x)=1/2. En el intervalo [0, 2pi). 5. Determine las soluciones de cos(2x)=0 6. Resolver la ecuación sen(t)*tan(t)=sen(t)
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Combinación de una suma en la cual intervienen las funciones sen(x) y cos(x).
Sean a y b números reales y a>o. Entonces la función f(x) = a.sen (Bx)+b.cos(Bx), se puede escribir en términos del coseno de x, como sigue f(x) = A.cos(Bx-C) Donde
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7. Si f(x) = sen(x) + cos(x), utilizar la formula f(x) = A
7. Si f(x) = sen(x) + cos(x), utilizar la formula f(x) = A.cos(Bx-C) y, a continuación trazar la gráfica de f. 8. Si , utilizar la formula f(x) = A.cos(Bx-C) y, a continuación trazar la gráfica de f. 9. Si , utilizar la formula f(x) = A.cos(Bx-C) y, a continuación trazar la gráfica de f.
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