Funciones lineales Las funciones de la forma y = ax + b, donde a, b R se llaman funciones lineales. Recorrido: R Recorrido: R (0, b): ordenada en el origen (0, b): ordenada en el origen Dominio: R Dominio: R f(x) = ax + b, a > 0 f(x) = ax + b, a < 0 Una función lineal queda determinada cuando se conocen las imágenes de dos valores distintos de la variable independiente Final

Funciones cuadráticas Son funciones de la forma y = ax2 + bx + c, donde a  0, b, c  R Funciones y = ax2 para diferentes valores de a Son parábolas Dominio: R Si a > 0: Recorrido = [0, ) Si a < 0: Recorrido = (–, 0] a =2 a =1 a = 0,5 a = – 2 a = – 1 Final a = – 0,5

Representación gráfica de funciones cuadráticas f(x) = ax2 + bx + c, a0 es una parábola V a > 0 a < 0 V Final

Funciones polinómicas Final Se llama función polinómica a las funciones f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + ao donde an, an-1, ..., ao son números reales, n es un número natural, y an  0. En este caso se dice que tenemos una función polinómica de grado n Las funciones f(x) = xn para n = 1, 2, 3, ..... Dominio Recorrido Recorrido Dominio f(x) = x4 f(x) = x2 f(x) = x3 f(x) = x5

Representación gráfica de algunas funciones polinómicas Grado 3 Grado 4 Grado 5 Grado 6 Final

Funciones racionales Una función racional es una función cociente de dos funciones polinómicas; es decir, f(x) = P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son dos polinomios Final x + 1 – 1 + – 1 + Dominio: conjunto de todos los números reales excepto los que anulan al denominador. Por tanto para hallar el dominio hay que resolver la ecuación Q(x) = 0 Continuidad: son funciones continuas en su dominio Asíntotas: pueden tener asíntotas verticales, horizontales u oblicuas x + 1 – – + f(x) + – + Las asíntotas de la función f(x) = 1/(x2 - 1) y los cambios de signo en su dominio

Funciones con radicales (I) Final Si m es impar y n es par Si m es impar y n es impar

Funciones con radicales (II) Final Si m es par y n es par Si m es impar y n es impar

Funciones potenciales Una función potencial es una función de la forma f(x) = xa, siendo x la variable y a un número real Dominio: en general definidas sólo en [0, ). En algunos casos también está definidas para los reales negativos Continuidad: son funciones continuas en su dominio a < 0 0 < a < 1 a > 1 Final

Funciones exponenciales Una función exponencial es una función de la forma f(x) = ax, siendo x la variable y a un número real Dominio: R. Recorrido: (0, ) Continuidad: son funciones continuas en su dominio Las gráficas de todas las funciones exponenciales pasan por el punto (0, 1) f(x) = e– x = (1/e)x f(x) = 2x f(x) = 2– x = (1/2)x f(x) = ex 0 < a < 1 a > 1 Final

Funciones exponenciales: algunas propiedades Asíntota horizontal por la derecha Decreciente Asíntota horizontal por la izquierda Creciente f(x) = ax para 0 < a < 1 f(x) = ax para a > 1 Final

Comparación entre funciones exponenciales y potenciales Final

Funciones logarítmicas Una función logarítmica es una función de la forma f(x) = loga x, siendo x la variable y a un número real mayor que 0 y distinto de 1 Dominio: (0, ). Recorrido: R Continuidad: son funciones continuas en su dominio (0, ) Las gráficas de todas las funciones logarítmicas pasan por el punto (1, 0) Es inversa de la exponencial: sus gráficas son simétrica respecto y = x f(x) = ax f(x) = ax f(x) = loga x f(x) = loga x 0 < a < 1 a > 1 Final

Funciones logarítmicas: algunas propiedades f(x) = loga x para 0 < a < 1 f(x) = loga x para a > 1 Decreciente en su dominio loga x < 0 si x > 1 loga x > 0 si 0 < x < 1 Creciente en su dominio loga x > 0 si x > 1 loga x < 0 si 0 < x < 1 Final

Comparación entre funciones logarítmicas y potenciales Final

Función periódica Final 1 2 3 10,15 10,30 10,45 11 11,15 10,35 11,45 período = T período = T x x + T Una función f(x) es periódica de período T si existe un número real T  0, llamado período, tal que f(x) = f(x + T), para todo x de su dominio

Propiedades de la función seno Final -3p -5p/2 -2p -3p/2 -p -p/2 0 p/2 p 3p/2 2p 5p/2 3p y = 1 y = -1 Propiedades de la función seno En continua en su dominio que es R. Su recorrido es el intervalo [-1, 1]. Es periódica de período 2p. No existe el límite de sen x cuando x tiende a ± . Es una función impar: sen (– x ) = sen x

Propiedades de la función coseno Final -3p -5p/2 -2p -3p/2 -p -p/2 0 p/2 p 3p/2 2p 5p/2 3p y = 1 y = -1 y = sen x y = cos x Propiedades de la función coseno En continua en su dominio que es R. Su recorrido es el intervalo [-1, 1]. Es periódica de período 2p. No existe el límite de cos x cuando x tiende a ± . Es una función par: cos (– x ) = cos x

Propiedades de la función tangente Final -2p -3p/2 -p -p/2 0 p/2 p 3p/2 2p Propiedades de la función tangente En continua en su dominio que es R - {p/2 + kp: k Z} Su recorrido es toda la recta real. Es periódica de período p. Las recta x = p/2 + kp, k Z son asíntotas verticales No existe el límite de cos x cuando x tiende a ± . Es una función impar: tan (– x ) = – tan x

Propiedades de la función arco seno La función sen x es inyectiva en [-p/2, p/2]. En ese intervalo tendrá inversa: f(x) = arcsen x. Las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto a la recta y =x Final y = arcsen x p/2 1 y = sen x -p/2 -1 1 p/2 – 1 y = x - p/2 Propiedades de la función arco seno En continua en su dominio: [-1, 1]. Su recorrido es el intervalo [-p/2, p/2]. Es creciente.

Propiedades de la función arco coseno La función cos x es inyectiva en [0, p]. En ese intervalo tendrá inversa: f(x) = arccos x. Las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto a la recta y =x Final y = arccos x y = x p/2 p/2 1 y = cos x 1 p/2 p -1 Propiedades de la función arco coseno En continua en su dominio: [-1, 1]. Su recorrido es el intervalo [0, p]. Es decreciente.

Propiedades de la función arco tangente La función tan x es inyectiva en [-p/2, p/2]. En ese intervalo tendrá inversa: f(x) = arctan x. Las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto a la recta y =x Final y = tan x p/2 p/2 -p/2 y = arctan x -p/2 y = x Propiedades de la función arco tangente En continua en su dominio: R. Su recorrido es el intervalo [-p/2, p/2]. Es creciente. Tiene asíntota horizontal hacia l derecha en p/2 y hacia la izquierda en -p/2

Gráfica de la función y = 3 + 2 cos(2x + p/2) Gráficas de funciones trigonométricas mediante traslaciones y dilataciones Final Gráfica de la función y = 3 + 2 cos(2x + p/2)