DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS GEOMETRÍA-I MATEMATICAS-II 2º de BACHILLERATO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Fco. Javier del Rey IES LÓPEZ-NEYRA (CÓRDOBA)

Componentes de un vector VECTORES EN EL ESPACIO (Vectores-I) Definición de vector.- Es un segmento orientado que parte de un punto llamado origen del vector y termina en otro llamado extremo del vector. Se simboliza, , donde A es el origen y B el extremo. Componentes de un vector Supongamos que las coordenadas del origen y del extremo de un vector son los puntos A (a1,a2,a3) y B (b1,b2,b3). Las componentes del vector se obtienen restando las coordenadas del extremo menos las del origen, es decir: = (b1-a1 , b2-a2 , b3-a3)

Elementos de vector.- Todo vector tiene tres elementos: VECTORES EN EL ESPACIO (Vectores-II) Elementos de vector.- Todo vector tiene tres elementos: Módulo, es la distancia que separa el origen y el extremo del vector. Se simboliza Ejemplo: Dirección, es la recta sobre la que están el extremo y el origen, así como todas las rectas paralelas a ella. Sentido, cada dirección tiene dos sentidos opuestos, de A a B y de B a A.

(Operaciones con vectores-I) VECTORES EN EL ESPACIO (Operaciones con vectores-I) Producto de un número por un vector, Ejemplos:

(Operaciones con vectores-II) VECTORES EN EL ESPACIO (Operaciones con vectores-II) Suma y resta de vectores.- Se aplica la denominada la ley del paralelogramo: SUMA Ejemplos: RESTA

VECTORES EN EL ESPACIO (Vector unitario-I) Definición de vector unitario.- Llamamos vector unitario a aquel vector que tiene de módulo la unidad. Como hacer que un vector sea unitario.- Dado un vector, para calcular otro vector unitario que vaya en la dirección del anterior, basta con dividir el vector entre su módulo. Ejemplos:

(Expresión analítica de un vector-I) VECTORES EN EL ESPACIO (Expresión analítica de un vector-I) Combinación lineal de vectores.- Ejemplo:

(Expresión analítica de un vector-II) VECTORES EN EL ESPACIO (Expresión analítica de un vector-II) Veamos como se estudia, en la práctica, si dos vectores son dependientes o independientes.- Dependencia e independencia lineal.- En dos dimensiones (R2)

(Expresión analítica de un vector-III) VECTORES EN EL ESPACIO (Expresión analítica de un vector-III) En tres dimensiones (R3)

(Expresión analítica de un vector-IV) VECTORES EN EL ESPACIO (Expresión analítica de un vector-IV) Base.- Ejemplos: En dos dimensiones (R2) En tres dimensiones (R3)

(Expresión analítica de un vector-V) VECTORES EN EL ESPACIO (Expresión analítica de un vector-V) Principales tipos de bases.- Coordenadas de un vector en una base.- Son las componentes del vector que ya habíamos comentado antes. Ejemplo: Ejercicios: Pág. 128 el 1 y 2.

(Productos entre vectores-I) VECTORES EN EL ESPACIO (Productos entre vectores-I) TIPOS DE PRODUCTOS ENTRE VECTORES ESCALAR VECTORIAL MIXTO

PRODUCTO ESCALAR Definición.- Dados dos vectores se define su producto escalar, y se simboliza , como el número que resulta de: En un base ortonormal.- La expresión anterior queda:

APLICACIONES DEL PRODUCTO ESCALAR APLICACIÓN En GENERAL En una BASE ORTONORMAL Módulo de un vector Ángulo entre dos vectores Segmento proyección Vector proyección Criterio de perpendicularidad Ejercicios: Pág. 132 y 133 el 1 ®, 2 ® y 3 ®. Ejercicios: Pág. 131 el 1.

PRODUCTO ESCALAR (EJEMPLO)

PRODUCTO VECTORIAL Definición.- Dados dos vectores se define su producto vectorial, y se simboliza , como el vector que tiene la dirección y sentido dado por la “regla del sacacorchos”, y cuyo módulo viene dado por: En la práctica.- Se calcula el vector mediante el determinante: Propiedades importantes.- Destacamos dos:

APLICACIONES DEL PRODUCTO VECTORIAL Área del paralelogramo del APLICACIÓN FÓRMULA DIBUJO Área del paralelogramo del Triángulo Ejercicios: Pág. 136 el 1, 2 y 3.

PRODUCTO MIXTO Definición.- Dados tres vectores se define su producto mixto, y se simboliza , como el número que resulta del producto escalar siguiente: En la práctica.- Se puede demostrar que la expresión anterior es equivalente a esta otra:

APLICACIONES DEL PRODUCTO MIXTO Volumen del paralelepípedo tetraedro APLICACIÓN FÓRMULA DIBUJO Volumen del paralelepípedo tetraedro Ejercicios: Pág. 142 el 21, 32, 33, 36 y 37. Ejercicios: Pág. 141 el 15, 16 y 18. Ejercicios: Pág. 138 y 139 el 1, 2 y 4. Ejercicios: Pág. 137 el 1 y 2.

PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO-I La GEOMETRÍA es la rama de las matemáticas que se encarga del estudio de las propiedades y las medidas de una figura (en el plano o en el espacio). Los tres elementos principales que la forman son: RECTA PLANO PUNTO

DOS CONCEPTOS IMPORTANTES PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO-II DOS CONCEPTOS IMPORTANTES Recordemos Punto medio de un segmento Componentes de un vector Supongamos que A(a1,a2,a3) y B(b1,b2,b3) son el origen y el extremo de un vector, sus coordenadas son: Supongamos que A(a1,a2,a3) y B(b1,b2,b3) son los extremos de un segmento, su punto medio será: Ejercicios: Pág. 148 el 2 ®, 3 ® y el 3. Ejercicios: Pág. 146 el 1 ® =(b1-a1 , b2-a2 , b3-a3)

La recta se puede expresar de varias formas: ECUACIONES DE LA RECTA PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO-III ECUACIONES DE LA RECTA La recta se puede expresar de varias formas: ECUACIONES DE LA RECTA Sea un punto de la recta P(p1,p2,p3) y el vector en la dirección de dicha recta v=(v1,v2,v3). Por otro lado, sea un punto genérico de la recta X(x1,x2,x3). Ecuación vectorial Ecuaciones paramétricas Ecuación continua Ecuación implícita Ejercicios: Pág. 150 el 1 ®.

PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO-III Ejercicios: Pág. 151 el 2 ®.

PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO-III Ejercicios: Pág. 151 el 3 ®.

PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO-III Ejercicios: Pág. 151 el 4 ®.

PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO-III

La recta se puede expresar de varias formas: ECUACIONES DEL PLANO PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO-IV ECUACIONES DEL PLANO La recta se puede expresar de varias formas: ECUACIONES DEL PLANO Sea un punto del plano P(p1,p2,p3) y dos vectores de dicho plano, u=(u1,u2,u3) y v=(v1,v2,v3). Por otro lado, sea un punto genérico del plano X(x1,x2,x3). Ecuación vectorial Ecuaciones paramétricas Ecuación Implicita o general Ejercicios: Pág. 155 el 1 ®.

PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO-III Ejercicios: Pág. 155 el 1. Ejercicios: Pág. 155 el 2 ®.

PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO-III Solución: Ejercicios: Pág. 155 el 2.

PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO-III Solución:

POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS Casos que se pueden dar: PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO-V POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS Elementos que tenemos Casos que se pueden dar: 1 2 3 4 Sean dos rectas r y r´ de las que conocemos un punto y un vector director de cada una de ellas: Calculo un punto P de r y dicho punto también pertenece a r´, entonces las rectas son coincidentes. Calculo un punto P de r y dicho punto no pertenece a r´, entonces las rectas son paralelas. Calculo , si los tres vectores están en el mismo plano –son linealmente dependientes- (coplanarios), las rectas se cortan. Calculo , si los tres vectores no están en el mismo plano –son linealmente independientes- (no coplanarios), las rectas se cruzan. Estudiemos que ocurre con los vectores Pueden darse los siguientes casos: Ejercicios: Pág. 153 el 1 ®. NOTA.- El mismo estudio lo podemos hacer expresando cada recta como dos planos. En este caso tendremos un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas.

PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO-III Ejercicios: Pág. 153 el 2 ®.

PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO-III Ejercicios: Pág. 153 el 3 ®.

PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO-III

POSICIÓN RELATIVA DE RECTA Y PLANO Casos que se pueden dar: PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO-VI POSICIÓN RELATIVA DE RECTA Y PLANO Elementos que tenemos Casos que se pueden dar: 1 2 3 Sean una recta r y un plano Π de ecuaciones: Si el punto P de la recta pertenece también al plano, la recta está contenida en el plano. Si el punto P de la recta no pertenece al plano, la recta es paralela al plano. Vamos a estudiar qué casos se pueden plantear entre el vector en la dirección de la recta v, el vector perpendicular al plano n y el punto P de la recta : Ejercicios: Pág. 157 el 2 ®. En este caso la recta es secante al plano.

PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO-III Ejercicios: Pág. 157 el 3 ®.

PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO-III Ejercicios: Pág. 157 el 1.

PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO-III Solución:

PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO-VII POSICIÓN RELATIVA DE DOS PLANOS Elementos que tenemos Casos que se pueden dar: 1 2 3 Sean dos planos Π y Π´ de ecuaciones: Sistema compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones y 1 grado de libertad, los planos se cortan en una recta, son secantes. r(C)=2 r(A)=2 n=3 Estudiamos el sistema formados por las dos ecuaciones, siendo las matrices asociadas: Sistema incompatible, no tiene solución, los planos son paralelos. r(C)=1 r(A)=2 Sistema compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones y 2 grado de libertad, los planos son coincidentes. r(C)=1 r(A)=1 n=3 Ejercicios: Pág. 157 el 1 ®. Pueden darse los siguientes casos:

PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO-III Ejercicios: Pág. 160 el 1 ®.

PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO-III Ejercicios: Pág. 160 el 2 ®.

PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO-III Ejercicios: Pág. 161 el 3 ®.

PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO-III Ejercicios: Pág. 161 el 5 ®.

PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO-III Ejercicios: Pág. 162 el 6 ®.

PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO-III Ejercicios: Pág. 163 el 9 ®.

PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO-III Ejercicios: Pág. 165 el 1 ®.

PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO-III Ejercicios: Pág. 168 el 47.

PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO-III Solución: