Descomposición en Fracciones simples. Funciones Racionales Descomposición en fracciones simples Integración de funciones racionales (descomponiendo en fracciones simples). Ejemplos Descomposición en fracciones simples

Funciones Racionales Una función del tipo P/Q, siendo P y Q polinomios, es una función racional. Definición Ejemplo El grado del denominador de la función de arriba es menor que el grado del numerador. Reescribimos la función racional de manera más sencilla dividiendo los polinomios. A la hora de integrar, es necesario siempre realizar si es posible la división de los polinomios. Integrar la parte polinómica es sencillo, y podemos reducir el problema de integración a integrar funciones racionales generales, en las que el denominador tiene mayor grado que el numerador. Reescribimos la función

Descomposición en fracciones simples Integración de Funciones Racionales (ejemplo) Con C constante de integración.

Descomposición en fracciones simples de la función integrando, para facilitar la integración Definición La descomposición de la función (3x 2 +3x+2)/(x 3 +x 2 +x+1) es una Descomposición en fracciones simples. Descomponer en fracciones simples es un método para expresar una función racional en suma de Funciones Racionales lo más sencillas posible. Generalmente, la Descomposición en fracciones simples es complicada y se presentan diferentes casos. Siempre comenzaremos factorizando el denominador. El tipo de descomposición en fracciones simples que realicemos dependerá de los factores del denominador. Explicaremos cada tipo en las siguientes diapositivas.

Descomposición en fracciones simples Descomposición en fracciones simples (2) La Descomposición en fracciones simples de una función racional R=P/Q, con grad(P) < grad(Q) depende de los factores del denominador Q. Como estamos factorizando polinomios con coeficientes reales, el denominador Q puede tener distintos tipos de factores. 1.Simples, factores de primer grado no repetidos ax + b. 2.Factores de primer grado (ax + b) k, k > 1. 3.Simple, factores de segundo grado no repetidos ax 2 + bx + c. Al asumir que los factores no pueden factorizarse más, debe suceder que b 2 – 4 ac < 0. 4.Factores de segundo grado (ax 2 + bx + c) k, k>1. También aquí b 2 – 4 ac < 0. La descomposición en fracciones simples se calcula de la misma forma en todos los casos de arriba. En ocasiones, es necesario integrar las fracciones simples resultantes. Podemos realizar la integral de manera inmediata mediante las fórmulas de integración, aunque los cálculos para la descomposición suelen ser complicados.

Descomposición en fracciones simples Factores de primer grado (no repetidos) (Raíces reales simples) Caso 1 Descomposición en fracciones simples: Caso 1

Descomposición en fracciones simples Ejemplo Las ecuaciones para obtener A y B se obtienen sabiendo que dos polinomios son iguales si y solo si sus coeficientes son iguales. Factores de primer grado (no repetidos) (Raíces reales simples)

Descomposición en fracciones simples Caso II Descomposición en fracciones simples: Caso II Factores de segundo grado (no repetidos) (Raíces complejas simples)

Descomposición en fracciones simples Ejemplo Para obtener estas ecuaciones usamos el hecho de que los dos numeradores deben ser iguales. Por ello los coeficientes del mismo grado deben coincidir Factores de segundo grado (no repetidos) (Raíces complejas simples)

Descomposición en fracciones simples Factores de primer grado repetidos (raíces reales múltiples) Caso III Descomposición en fracciones simples: Caso III

Descomposición en fracciones simples Ejemplo Igualando los coeficientes de los numeradores. Factores de primer grado repetidos (raíces reales múltiples)

Descomposición en fracciones simples Factores de segundo grado repetidos (raíces complejas múltiples) Caso IV Descomposición en fracciones simples: Caso IV

Descomposición en fracciones simples Ejemplo Factores de segundo grado repetidos (raíces complejas múltiples)

Descomposición en fracciones simples Integración de las fracciones simples Descomponer en fracciones simples es el método más utilizado para integrar Funciones Racionales. Tras la descomposición, deberemos tratar con integrales de los siguientes tipos. Tendremos cuatro casos; los dos primeros son muy sencillos: K es la constante de integración.

Descomposición en fracciones simples Integración de las fracciones simples En los casos restantes calcularemos integrales del tipo: En la tercera, observamos que– como el denominador no puede factorizarse más– tenemos 4ac-b 2 > 0. Mediante los cambios de variable pertinentes obtenemos: Siendo K la constante de integración

Descomposición en fracciones simples Integración de las fracciones simples Integrando por partes repetidamente estas integrales pueden reducirse al tercer caso Teorema

Descomposición en fracciones simples Algoritmo de Integración Una Función racional f = P/Q, donde P y Q son polinomios, puede ser integrada de la siguiente forma: 1.Si grad(Q) grad(P), dividimos los polinomios y reescribimos la función como P/Q = S + R/Q, donde S y R son polinomios con grad(R) < grad(Q). Integramos el polinomio S. 2.Factorizamos los polinomios Q y R, y simplificamos. Descomponemos en fracciones simples la función R/Q. 3.Integramos las fracciones simples

Descomposición en fracciones simples Ejemplos (1) Ejemplo 1

Descomposición en fracciones simples Ejemplos (2) Ejemplo 1 Hacer el Cambio de Variable u=x 2 +x+1 en la primer integral y reescribir la segunda. Esta es la expresión que nos indica el cambio de variable para finalizar el cálculo

Descomposición en fracciones simples Ejemplos (3) Ejemplo 2 Podemos simplificar la función dividiendo los polinomios en primer lugar. Debemos realizarla siempre que sea posible. Así, obtenemos: Descomponemos en fracciones simples y obtenemos: Por último integramos :

Descomposición en fracciones simples Ejemplos (4) Ejemplo 3 En este caso, descomponiendo en fracciones simples obtenemos: Que es una expresión fácil de integrar. Sin embargo, la integral es inmediata: hacemos el cambio de variable: Y obtenemos directamente el resultado:

Cálculo en una variable Autor: Mika Seppälä Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa