Matemáticas Aplicadas CS I DERIVADAS U.D. 10 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I FUNCIÓN DERIVADA U.D. 10.3 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I FUNCIÓN DERIVADA FUNCIÓN DERIVADA Si f es una función derivable en un intervalo (a,b) є R, la función derivada de f es la que a cada x ε (a,b) le hace corresponder la derivada de f en dicho punto. Esta función se designa por f ’(x) o D f(x) f (x + h) – f (x) f `(x) = lím -------------------- h  0 h La función derivada es una función y por tanto una expresión algebraica @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO DE APLICACIÓN Sea la función y = - x2 + 4x Hallar la función derivada. f(x+h) – f(x) f ’(x) = lím ----------------- = h0 h - (x+h)2 + 4.(x+h) – ( - x2+ 4x) = lím ---------------------------------------- = - x2 -2hx -h2 + 4x + 4h + x2 - 4x = lím ---------------------------------------- = - 2hx + 4h - h2 = lím --------------------- = - 2.x + 4 h0 h f ’(x) = - 2.x + 4 m<0 m=0 m>0 2 4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO DE APLICACIÓN Sea la función y = - x2 + 4x Su función derivada es: f ’(x) = - 2.x + 4 Comprobemos: f ’(1) = - 2.1 + 4 = + 2 > 0 f ’(2) = - 2.2 + 4 = 0 f ’(3) = - 2.3 + 4 = - 2 < 0 Efectivamente la función derivada es tal que nos proporciona el valor de la derivada (pendiente) de la función en cualquier punto de la misma. m<0 m=0 m>0 2 4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

DERIVADA Y FUNCIÓN DERIVADA Sea f(x) = x2 Calculemos la función derivada. f ‘ (x) = 2.x , que es otra función. La función derivada es otra función. Calculemos la derivada de la función en un punto, en x=2 f ‘ (x) = 2.x ,, f ‘ (2) = 2.2 = 4 La derivada de la función en un punto es un cardinal ( un número ). La derivada de una función cuadrática es una función lineal: y la derivada de una función lineal es una función constante. f(x) = x2 y=4 f ‘ (x) = 2.x x=2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I OTRO EJEMPLO Sea la función: a) Calcula la función derivada. b) ¿En qué punto de gráfica de f la derivada vale 10?. c) ¿En qué punto de gráfica de f la tangente es horizontal?. d) ¿Hay algún punto de la gráfica en que la tangente sea paralela a la recta y = - 3.x + 2 ? @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I RESOLUCIÓN a) Hallamos la función derivada. f(x+h) – f(x) f ’(x) = lím ----------------- = h0 h 0,33.(x+h)3 + 0,50.(x+h)2 – 6.(x+h) – 0,33.x3 – 0,50.x2 + 6.x = lím ------------------------------------------------------------------------------- = h0 h 0,33.(x3 +3.x2 .h+3.x.h2 +h3) +0,50.(x2 +2.x.h+h2) – 6.x – 6.h – 0,33.x3 – 0,50.x2 + 6.x x2.h + x.h2 + 0,33.h3 + 0,50.h2 – 6.h = lím ---------------------------------------------------------------- = h0 h = lím ( x2 + x.h + 0,33.h2 + 0,50.h – 6 ) = x2 + x – 6 h0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I RESOLUCIÓN b) Punto en que f´(x) vale 14. f ’(x) = x2 + x – 6  x2 + x – 6 =14  x2 + x – 20 = 0 Resolviendo la ecuación: x = [ – 1±√(1+80)]/2 = 4 y – 5 c) Tangente horizontal La pendiente de la recta tangente debe ser cero. m = f ’(x) = x2 + x – 6  x2 + x – 6 =0 Resolviendo la ecuación: x = [ – 1±√(1+24)]/2 = 2 y – 3 d) Tangente paralela a la recta y = - 3.x + 2 Al ser paralela debe tener la misma pendiente. m = f ’(x) = x2 + x – 6  x2 + x – 6 = – 3  x2 + x – 3 = 0 Resolviendo la ecuación: x = [ – 1±√(1+12)]/2 = 1,30 y – 2,30 Importante: Aquí hemos hallado las abscisas (valores de x) de los puntos de tangencia pedidos. Hay que hallar también las correspondientes ordenadas o imágenes (valores de y) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I OTRO EJEMPLO Sea la función: cuya derivada es: Calcula la ecuación de la recta tangente en los puntos de abscisa: a) x = – 2  f(– 2) = 2 b) x = – 1  f(– 1) = – 1/2 c) x = 0  f(0) = 0 d) x = 2  f(2) = 2 e) x = 4  f(4) = 56 f) x = ½  f(1/2) = - 7 / 64 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I RESOLUCIÓN a) Utilizando la ecuación punto-pendiente: y – yo = m.(x – xo) Hallamos la pendiente: m = f´(– 2) = (– 2)3 - (– 2) = - 6 Y sustituyendo valores: y – 2 = - 6.(x – (-2))  y = – 6.x – 10 b) Utilizando la ecuación punto-pendiente: y – yo = m.(x – xo) m = f´(– 1) = (– 1)3 - (– 1) = 0 y – (–1/2) = 0.(x – (-1))  y + ½ = 0  y = – 1/2 c) Utilizando la ecuación punto-pendiente: y – yo = m.(x – xo) m = f´(0) = (0)3 - (0) = 0 y – 0 = 0.(x – 0)  y = 0 (Eje de abscisas) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I RESOLUCIÓN d) Utilizando la ecuación punto-pendiente: y – yo = m.(x – xo) Hallamos la pendiente: m = f´(2) = (2)3 - (2) = 6 Y sustituyendo valores: y – 2 = 6.(x – 2)  y = 6.x – 10 e) Utilizando la ecuación punto-pendiente: y – yo = m.(x – xo) m = f´(4) = 43 – 4 = 60 y – 56 = 60.(x – 4)  y – 56 = 60.x – 240  y = 60.x – 184 f) Utilizando la ecuación punto-pendiente: y – yo = m.(x – xo) m = f´(1/2) = (1/2)3 - (1/2) = – 3 / 8 y – (-7/64) = - 3/8.(x – 1/2)  y + 7/64 = (-3/8).x + 3/16  y = (-3/8).x + 5/64 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD Sea la función: x , si x < 2 f(x) = - x + 4 , si x ≥ 2 Veamos si es continua en x=2 1) f (2) = - 2 + 4 = 2 2) Lím f(x) = 2 x2- Lím f(x) = - 2 + 4 = 2 x2+ 3) f (2) = lím f(x)  2 = 2 x2 La función es continua en x=2 f(x)=x f(x)= -x + 4 x=2 La función es continua en x=2, pero .. ¿Tiene derivada en x=2, es derivable en x=2?. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Calculemos la derivada de la función en x=2 f (2 + h) - f(2) f ’ (x) = lím ------------------------- h 0 h A la izquierda del 2: 2 + h - 2 h f ’ (2-) = lím --------------- = ---- = 1 h 0 h h A la derecha del 2: - 2 - h + 4 + 2 – 4 - h f ’ (2+) = lím --------------------------- = ----- = - 1 h 0 h h Los límites NO coinciden  La función NO es derivable en x= 2 , aunque hemos visto que es continua en x=2 Una función NO tiene derivada en los puntos angulosos. f(x)=x f(x)= -x + 4 x=2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I OTRO EJEMPLO Sea la función: x2 , si x < 1 f(x) = 2x – 1 , si x ≥ 1 Veamos si es continua en x=1 1) f (1) = 2.1 – 1 = 1 2) Lím f(x) = 12 = 1 x1- Lím f(x) = 2.1 – 1 = 1 x1+ Lím f(x) = 1 x1 3) f (1) = lím f(x)  1 = 1 La función es continua en x=1 f(x)= 2.x – 1 f(x)=x2 x=1 La función es continua en x=1, pero .. ¿Tiene derivada en x=1, es derivable en x=1?. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Calculemos la derivada de la función en x=1 f (1 + h) - f(1) f ’ (1) = lím ------------------- h 0 h A la izquierda del 1: (1 + h)2 - 12 1 + 2h + h2 - 1 2h + h2 f ’ (1-) = lím ------------------- = ---------------------- = ----------- = 2 + h = 2 h 0 h h h A la derecha del 1: 2(1 + h) – 1 – (2.1 – 1) 2h f ’ (1+) = lím ---------------------------------- = ----- = 2 h 0 h h Los límites coinciden  La función es derivable en x= 1. Una función NO tiene derivada en los puntos angulosos. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I