DIVISIONES DE UN TRAZO División Interior: Dividir interiormente un trazo significa encontrar un punto P de manera que los segmentos determinados por P estén en una razón dada. El punto P divide interiormente al trazo AB en la razón x : y

Forma 1: Dividir un trazo interiormente en la razón 2 : 3. 1º Se traza un rayo AP cualquiera. 2º Consideremos una unidad “a” cualquiera.

3º Se copia el trazo de medida “a”, dos veces sobre el rayo AP, determinándose el punto M. 4º Se copia, a continuación de M, tres veces el trazo de medida “a” sobre el rayo AP, determinándose el punto N. 5º Se une B con N, como indica la figura. 6º Por M se traza la paralela a BN, lo que determina el punto Q en AB. 7º Q es el punto que divide interiormente al trazo AB en la razón 2 : 3.

Forma 2: 1º Se trazan por A y por B dos paralelas

2º Se copia el trazo de medida “a”, dos veces sobre la paralela en A, determinándose el punto M. 3º Se copia el trazo de medida “a”, tres veces sobre la paralela en B, determinándose el punto N. 4º Se une M con N, lo que determina un punto Q sobre el trazo AB. 5º El punto Q divide interiormente al trazo AB en la razón 2 : 3.

División Exterior: Dividir exteriormente un trazo significa encontrar un punto Q, situado en la prolongación del trazo, de manera que los segmentos medidos desde dicho punto a los extremos del trazo estén en una razón dada. Q divide exteriormente al trazo AB en la razón x : y

Forma 1: Dividir exteriormente el trazo AB en la razón 5 : 3. 1º Se traza un rayo AP cualquiera. 2º Consideremos un trazo de medida “a”.

3º Se copia el trazo de medida “a”, cinco veces sobre el rayo AP, determinándose un punto que designaremos por M. 4º Se copia el trazo de medida “a” , tres veces sobre el rayo MA, determinándose el punto N. 5º Se une N con B. 6º Por M se traza una paralela a NB, lo cual determina el punto Q sobre la prolongación de AB. 7º El punto Q, divide exteriormente al trazo AB en la razón 5 : 3.

Forma 2: 1º Se trazan por A y por B dos paralelas. 2º Se copia el trazo de medida “a” , cinco veces sobre la paralela en A, determinándose el punto designado por M.

3º Se copia el trazo de medida “a”, tres veces sobre la paralela en B, determinándose N. 4º Se une M con N y su prolongación determina Q, sobre la prolongación del trazo AB. 5º Este punto Q, divide exteriormente al trazo AB en razón 3 : 5.

División Armónica: Esta división de un trazo se refiere a dividirlo interior y exteriormente en una misma razón.

DIVISIÓN ÁUREA O DIVINA Dividir un trazo en sección áurea o divina, consiste en dividirlo en dos segmentos, de modo que la razón entre el trazo entero y el segmento mayor sea igual a la razón entre el segmento mayor y el menor. (AP > PB) OBSERVACIÓN: La razón = se denomina RAZÓN ÁUREA

TEOREMA En triángulos semejantes, dos lados homólogos están en la misma razón que dos trazos homólogos cualesquiera y también están en la misma razón que sus perímetros.

TEOREMA Las áreas de triángulos semejantes están en una razón equivalente al cuadrado de la razón en que se encuentran dos trazos homólogos cualesquiera.

Ejemplo: En la figura 2, el trazo DE es paralelo al lado AB del triángulo ABC. ¿Cuál es el perímetro del ΔCDE? A) 36 B) 32 C) 27 D) 21 E) 18 ( c )

I) a : a’ = 1 : 2 II) hc : hc’ = 1 : 4 III) hc : hc’ = tc : tc’ Los triángulos ABC y A’B’C’ de la figura , son semejantes. S y S’ representan las áreas del primer y segundo triángulo respectivamente. Si S : S’ = 1 : 4, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) falsa(s)? ( b ) I) a : a’ = 1 : 2 II) hc : hc’ = 1 : 4 III) hc : hc’ = tc : tc’ A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III