SEMEJANZA U. D. 8 * 4º ESO E. Angel Prieto Benito

Presentación del tema: "SEMEJANZA U. D. 8 * 4º ESO E. Angel Prieto Benito"— Transcripción de la presentación:

1 SEMEJANZA U. D. 8 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO E. AC.

2 FIGURAS SEMEJANTES U. D. 8.1 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO E. AC.

3 FIGURAS SEMEJANTES Dos figuras son semejantes si presentan la misma forma pero distinto tamaño. Ejemplos: Un árbol en la realidad y una fotografía impresa del mismo árbol. O un edificio y la maqueta de dicho edificio. Al reducir o ampliar una figura obtenemos otra figura semejante. Las dimensiones (largo, ancho y alto) de las figuras semejantes son proporcionales. Los puntos, lados, ángulos, etc que se corresponden en una semejanza se dice que son elementos homólogos. La constante que permite pasar de las dimensiones de una figura a las dimensiones de la figura semejante se llama razón de semejanza (k) o escala (E). Para ampliar, la razón de semejanza es mayor que la unidad. Ejemplo: Al dibujar un virus o una bacteria visto por microscopio. Para reducir la razón de semejanza es menor que la unidad. Ejemplo: Al dibujar el plano callejero de mi ciudad. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

4 Ejemplos de figuras semejantes
Un plano callejero es semejante a la ciudad que representa. longitud en el dibujo cm cm k=E= = = = 1:10000 medida real m cm La fotografía de un ácaro es semejante al visto por el microscopio. longitud en el dibujo cm μm k=E= = = = 10000:1 medida real μm μm @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

5 FIGURAS SEMEJANTES Dos figuras son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y los lados correspondientes son proporcionales. Los lados y ángulos se llaman homólogos de la semejanza. C D’ A’ 2 cm √2 cm 2√2 cm √5 cm D 4 cm C’ 1 cm B A 2 cm 2√5 cm B’ La razón de proporcionalidad, en el ejemplo, es: A’B’ B’C’ C’D’ D’A’ √ √ r = = = = ; r = = = = = 2 AB BC CD DA √ √ @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

6 Razón de semejanza La constante de las parejas de lados homólogos en dos figuras semejantes se denomina razón de semejanza. Si dos figuras son semejantes, con razón de semejanza r, la razón de sus perímetros es también r. La razón de semejanza del ejemplo anterior es: A’B’ B’C’ C’D’ D’A’ √ √ r = = = = ; r = = = = = 2 AB BC CD DA √ √ Veamos la razón de los perímetros: A’B’+B’C’+C’D’+D’A’ √5+2√ (2+√5+√2+1) r = = = = 2 AB+BC+CD+DA √5+√ (2+√5+√2+1) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

7 Razón de las áreas Un triángulo es una figura, por lo que se aplica el criterio general de semejanza: Dos triángulos serán semejantes si tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales. Además, si dos triángulos son semejantes con razón de semejanza r, la razón de las áreas es r2 Áreas: 3.4 AABC = = 6 2 6.8 AA’B’C’ = = 24 AA’B’C’ 24 K = = ---- = 4 AABC Vemos que k = r2 Pues 4 =22 C’=37º C=37º 10 cm 5 cm 4 cm 8 cm B=53º A=90º 3 cm B’=53º A’=90º 6 cm @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

8 Razón de los volúmenes Un CUBO es un cuerpo formado por seis cuadrados. Dos cubos siempre son semejantes, pues lo son los cuadrados que lo forman. Si dos cuerpos son semejantes con razón de semejanza r, la razón de los volúmenes es r3 Volúmenes: r = 2/1 = 2 V1 = = 1 V2 = = 8 V K = = --- = 8 V Vemos que k = r3 Pues 8 =23 a=1 cm a=2 cm @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

9 Un prisma recto presenta 3 m de largo, 4 m de ancho y 5 m de alto.
Ejemplo 1 Un prisma recto presenta 3 m de largo, 4 m de ancho y 5 m de alto. Se duplica el tamaño de sus dimensiones ( 6 m, 8 m y 10 m respectivamente). ¿Cuánto ha aumentado el perímetro de la base?. ¿Cuánto ha aumentado el área de la base?. ¿Cuánto ha aumentado su volumen?. Perímetro antiguo: P = = 14 m Perímetro nuevo: P’ = = 28 m Vemos que r = 6/3 = 2 es igual que P’ / P = 28/14 = 2 Área base antigua: A = 3.4 = 12 m2 Área base nueva: A’ = 6.8 = 48 m2 Vemos que A’/A = 48/12 = 4 es igual que r2 = 22 = 4 Volumen prisma antiguo: V = = 60 m3 Volumen prisma nuevo: V’ = = 480 m3 Vemos que V’/V = 480/60 = 8 es igual que r3 = 23 = 8 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

10 De forma semejante el volumen ha quedado multiplicado por 8 3 cm 3 cm
Como se aprecia en la figura superior, al multiplicarse por 2 la base y la altura, al área ha quedado multiplicada por 4. De forma semejante el volumen ha quedado multiplicado por 8 3 cm cm 4 cm cm @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

11 El volumen de la pirámide es: V =Sb.h / 3 = l2.h / 3
Ejemplo 2 Una pirámide regular de base cuadrada presenta un volumen de 100 cm3 y una altura de 12 cm. Hallar las dimensiones y el volumen de una pirámide semejante a la anterior y que presente una altura de 3 cm. El volumen de la pirámide es: V =Sb.h / 3 = l2.h / 3 Despejando el lado del cuadrado de la base: l2 = 3.V / h = / 12 = 25  l = 5cm La razón entre las alturas es la razón de semejanza: r= 3 / 12 =1/ 4 =0,25 El nuevo lado de la base será: l´ = l.r = 5.0,25 = 1,25 cm El volumen de la pirámide semejante será: V =Sb.h / 3 = 1,252.3 / 3 = 1,5625 cm3 Comprobamos la razón entre volúmenes: r3 = V´/ V = 1,5625 / 100 = 0,015625 Veamos si esa razón es el cubo de r: r3 = 0,253 = 0,015625 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.