OLIMPIADA MATEMÀTICA 2010 FASE PROVINCIAL PROVA INDIVIDUAL 12 - 14 ANYS CASTELLÓ (UJI), 15 DE MAIG

1.- CUB: Un cub de dimensions 4 x 4 x 4 és format per cubs de mida 1 x 1 x 1. Si pintem la superficie exterior del cub gran, quants cubs tindran una cara pintada, quants dues cares pintades i quants les tres cares pintades? Solució: És questió de dibuixar-lo i contar Amb tres cares pintades hi han tants com vèrtexs. Com un cub té 8 vèrtex, hi han 8 cubs amb tres cares pintades. Amb dues cares pintades hi han dos en cada aresta, com un cub té 12 arestes (4 per dalt, 4 per baix i 4 laterals) hi han 2·12 = 24 cubs amb dues cares pintades. Amb una cara pintada hi han 4 per cada cara, com un cub té 6 cares, hi han 4·6 = 24 cubs amb una cara pintada. Anem per el cub 9 x 9 x 9

Amb tres cares pintades hi han tants com vèrtexs Amb tres cares pintades hi han tants com vèrtexs. Com hi han 8 vèrtexs , hi han 8 cubs amb tres cares pintades. Amb dues cares pintades hi han 7 per cada aresta. Com hi han 12 arestes, hi han 7·12 = 84 cubs amb dues cares pintades. Amb una cara pintada hi han (7·7 =) 49 per cada cara. Com hi han 6 cares hi han 6·49 = 294 cubs amb una cara pintada. Ara imaginem un cub n x n x n. Amb les tres cares pintades hi han tants com vèrtexs. Com hi han 8 vèrtexs, hi han 8 cubs en les tres cares pintades. Amb dues cares pintades hi han (n – 2) en cada aresta. Com hi han 12 arestes, hi han 12·(n – 2) cubs amb les dues cares pintades. Amb una cara pintada hi han ((n – 2) · (n – 2) =) (n – 2)2 en cada cara. Com hi han 6 cares, hi han 6 · (n – 2)2 cubs amb una cara pintada

2.- FIGURA HEXAGONAL.- Amb centre en el vèrtexs de l’hexàgon regular de la figura, es dibuixen sis arcs de circumferència amb el mateix radi, tangents dos a dos. Si el perímetre de l’hexàgon és de 36 unitats, quina és l’àrea de la figura ombrejada Solució.- En la figura hi ha, apart de l’hexàgon de costat 6 u, sis sectors circulars. Com l’hexàgon es descompon en sis triangles equilàters ( i per tant d’angles de 60º), l’angle entre arestes consecutives és de (60·2 =) 120º i per tant els sectors circulars son de 120º, d’on tres sectors circulars corresponen a un cercle. Per tant l’àrea dels sectors circulars és de: 2 · π · 32 u2 = 18 · π u2 L’àrea de l’hexàgon serà l’àrea dels sis trìangles en que es descompon, i com en aquestos triangles podem aplicar Pitàgores, tenim: Per tant, l’àrea de la figura ombrejada és:

3. - AQUARI. - Hi ha 200 peixos en un aquari 3.- AQUARI.- Hi ha 200 peixos en un aquari. L’1 per cent és de color blau i la resta de color groc. Quants peixos de color groc he de traure perqué el 2 % que quede siga de color blau? Solució.- Un problema de percentatges. Inicialment hi havia (1% de 200 =) 2 peixos blaus i (200 – 2 =) 198 peixos grocs. Traiem x de color groc. Aleshores tenim: 2 peixos blaus i 198 – x grocs que fan un total de 200 – x peixos. Per tant Es a dir, hem de traure 100 peixos grocs per a qué el nombre de peixos blaus corresponga al 2%

4.- DINERS.-Josep els dóna a Raül i a Adrià tants euros com en té cadascun d’ells. Després Raül els dóna a Josep i a Adrià tants euros com en té cadascun. Per últim Adrià fa el mateix i dóna a Josep i a Raül tants euros com en té cadascun. Si al final cada un d’ells té 16 euros, quants en tenien al principi Solució: Dues maneres de resoldre el problema: la primera “marxa enrere” és a dir partir de la última situació i anar cap enrere. La segona “marxa endavant” és a dir partir de la primera situació i anar cap endavant 1.- Comencem per el final: Cadascun d’ells té 16 € periode Josep Raül Adrià Abans Adrià a doblat els euros de Josep i Raül, per tant abans Josep i Raül en tenien 8€ cadascun i Adrià tenia els 16 actual mes 16 (8 + 8) que ha repartit. final 16 16 16 abans 8 8 32 abans d’abans 4 28 16 inici 26 14 8 Abans d’abans Raül és el que ha doblat els euros dels altres dos. Per tant ha donat 4 a Josep i 16 a Ádrià i ell en tenia 8 + (4+16) (8 mes els donats) A l’inici ha segut Josep que ha doblat els diners dels demés. Per tant Raül tenia la mitad de 28 es a dir 14 i Adrià tenia la mitad de 16 es a dir 8. I Josep tenia els 4 mes els donats, es a dir (4 + (14+8)=) 26 euros

2.- Comencem per l’inici: Josep tenia x euros, Raül tenia y euros i Adrià tenia z euros. Raonant com ho hem fet abans, pèro al inrevés, tenim el següent quadre: Josep Raül Adrià inici x y z 1a. transacció x-y-z 2y 2z 2a. transacció 2(x-y-z) 2y-(x-y-z + 2z) 4z 3a. transacció 4(x-y-z) 2(3y-x-z) 4z-2(x-y-z)-3y + x + z I ara hem d’igualar a 16 cadascuna de les expressions del final. Apareix el sistema de tres equacions en tres incognites Sumant les dues últimes equacions: 4z = 32 ; per la qual cosa z = 8. De (1 + 2) tenim y = 14. De (1) tenim x = 26. Es a dir el mateix resultat

5. - QUATRE NOMBRES. - La suma de quatre nombres és 64 5.- QUATRE NOMBRES.- La suma de quatre nombres és 64. Si afegim 3 al primer, restem 3 al segon nombre, multipliquem per 3 el tercer, i div idim per 3 el quart, tots els resultats donen el mateix nombre. ¿Quina és la diferència entre el nombre més gran i el més menut dels nombres originals? Solució: Sembla un problema de quatre incognites: cadascuna d’elles correspon a un nombre. Però l’informació sobre ells permet simplificar el problema: Si a, b, c i d son els nombres de l’enunciat tenim: I com la suma dels quatre nombres dona 64: I, d’açí, els nombres son el 9, el 15, el 4 i el 36. La diferència entre el més gran i el més menut és (36 – 4 =) 32