Cambio de soporte, estimación global Regularización (cambio de soporte) La variable regularizada sobre el soporte V, denotada como Z(V), se define como el promedio de los valores puntuales en V: El soporte es el volumen sobre el cual se mide o se considera la variable en estudio. Requisito: que la variable sea aditiva

Ejemplo con datos mineros Banco de una faena a rajo abierto conocido completamente, con altura de banco 12m. La variable considerada es la ley de cobre. soporte 1m × 1m soporte 5m × 5m soporte 25m × 25m

Propiedades de la variable regularizada En relación a la distribución espacial (variograma) El paso de un soporte pequeño a un soporte mayor es una operación reguladora ( “suavizamiento” de los mapas).

Expresión del variograma regularizado en función del variograma puntual con y caso estacionario caso intrínseco (meseta) (sin meseta)

En relación al histograma (distribución de las leyes en el banco) soporte 1m × 1m soporte 5m × 5m soporte 25m × 25m mínimo: 0.013 máximo: 12.77 media: 0.941 varianza: 0.497 mínimo : 0.082 máximo: 6.319 media: 0.941 varianza: 0.336 mínimo: 0.178 máximo: 3.181 media: 0.941 varianza: 0.260

Propiedades de los histogramas regularizados  misma media que la variable puntual  varianza menor (efecto de soporte)  forma distinta (simetrización...), regida en parte por la relación de Cartier

curva de regresión = diagonal (relación de Cartier) A partir de la nube de puntos, se deducen los histogramas para cada soporte  estos histogramas están ligados entre sí.

Curvas de selectividad Las curvas de selectividad son herramientas alternativas al histograma para visualizar la distribución de los valores de una variable. Entre ellas, las más importantes son: tonelaje - ley de corte: indica la proporción de los valores (fracción del tonelaje total) que supera una ley de corte ley promedio - ley de corte: indica la media de los valores que superan una ley de corte ley promedio - tonelaje cantidad de metal - ley de corte: la cantidad de metal se define como el producto de la ley promedio por el tonelaje cantidad de metal - tonelaje

la jerarquía de estas curvas según el soporte equivale a la relación de Cartier; sirve para elaborar algunos modelos de cambio de soporte.

Estimación de la media Se estima la media global como una media ponderada de los datos disponibles: Se determina los ponderadores {wa, a = 1... n} con algoritmos geométricos, para “corregir” los efectos de las irregularidades de muestreo, atribuyendo un peso mayor entre más aislado es el dato. Esta operación lleva el nombre de desagrupamiento (en inglés, declustering). El estimador es insesgado si la suma de los ponderadores {wa, a = 1... n} es igual a 1.

Determinación de los ponderadores método de las áreas de influencia El peso de un dato es proporcional a su área de influencia en la zona de estudio  dificultad en la definición de los bordes de la zona

método de las celdas Se divide la zona en celdas rectangulares de igual peso; el peso de cada celda se reparte entre las muestras que pertenecen a esta celda.  el resultado depende del origen de la red de celdas, así como de su tamaño y orientación

 Para un muestreo preferencial en las altas leyes, se suele tomar el tamaño de celda que minimiza el valor de la media desagrupada  Para un muestreo cualquiera, se puede tomar un tamaño convencional, por ejemplo, el que corresponde a la separación promedio entre muestras.

Precisión de la estimación Se mide la precisión de la estimación de la media por una varianza de estimación, la cual se puede expresar por medio del variograma de la variable regionalizada: Esta expresión se simplifica cuando se toma ponderadores iguales el muestreo es aleatorio uniforme / estratificado o regular Los factores que influyen en la varianza de estimación son la regularidad espacial de la regionalización el número de muestras su disposición geométrica: la estratificación reduce la varianza de estimación

Estimación de la varianza Se define la varianza de dispersión como la esperanza matemática de la varianza experimental: ambas dependen del soporte de la muestra y del tamaño del dominio muestreado. En el marco estacionario, ambas convergen hacia la varianza a priori (meseta del variograma) cuando el tamaño del dominio muestreado aumenta; en caso contrario, crecen infinitamente. varianza experimental s2(o | V), de dispersión D2(o | V) y varianza a priori s2, en función del tamaño del dominio V

Expresión de la varianza de dispersión muestra puntual muestra de soporte v no puntual Fórmula de Krige o relación de aditividad Permite calcular la varianza de los bloques a partir de varianzas puntuales, sin recurrir a un modelo variográfico (usando las varianzas experimentales). Alternativa: regularizar el modelo de variograma puntual

Determinación del histograma de la variable puntual Se puede definir un histograma experimental acumulado que tome en cuenta los ponderadores de desagrupamiento. sin desagrupamiento con desagrupamiento El histograma estándar se deduce por derivación o diferencias finitas. Existen algoritmos que permiten suavizar el histograma experimental; hay que prestar atención en los límites inferior y superior permitidos.

Determinación del histograma de la variable regularizada Los análisis anteriores permiten calcular la media y la varianza de la variable regularizada, por ejemplo, la ley de cobre de las unidades de selección. Se requiere un modelo para conocer la forma de su histograma y, por ende, las curvas de selectividad asociadas a estas unidades. Ejemplo (datos de cobre): distribuciones puntuales y regularizadas a 10m  10m

Corrección afín histograma de [z(V) – m] / sV = histograma de [z(x) – m] / sx Este modelo mantiene la forma del histograma puntual, por ende no toma en cuenta la simetrización que acompaña el cambio de soporte

Corrección lognormal histograma puntual = lognormal de media m y varianza sx2 histograma regularizado = lognormal de media m y varianza sV2 La transformación matemática es: con a = m1-b [1 + sV2 / m2]-1/2 [1 + sV2 / m2]b/2 b = [ln(1 + sV2 / m2) / ln(1 + sx2 / m2)]1/2.

Corrección lognormal indirecta Aplica la corrección lognormal (aunque el histograma puntual no lo es), luego ajusta el parámetro a de modo que la transformación no altera la media: con b = [ln(1 + sV2 / m2) / ln(1 + sx2 / m2)]1/2 a calculado de manera que z(x) y z(V) tengan igual media

Ejemplo con los datos de cobre Dos modelos de distribución de leyes de los bloques 25m × 25m, obtenidos a partir de la distribución puntual por corrección afín y corrección lognormal  es importante escoger un modelo de cambio de soporte adecuado

Otros modelos de cambio de soporte corrección mosaica simulaciones condicionales modelo gaussiano discreto modelos isofactoriales discretos

Aspectos prácticos 1) Determinar el histograma de las muestras (media, varianza, forma) irregularidades de muestreo: desagrupamiento cuidado con el modelamiento de los valores extremos 2) Determinar la varianza de los bloques ya sea gracias al variograma modelado de las muestras o bien por la fórmula de Krige 3) Escoger un modelo de cambio de soporte (por ejemplo, la corrección afín) y deducir el histograma de los bloques. Esta decisión va más allá del modelamiento del variograma.