DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMAS U.D. 3 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS POR GAUSS-JORDAN U.D. 3.1 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

DISCUSIÓN POR GAUSS Recordemos el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales: Sea: a.x + b.y + c.z = d a b c d a’,x + b’.y + c’.z = d’ A/B = a’ b’ c’ d’ a”.x + b”.y + c”.z = d” a” b” c” d” Resto a la 3º fila la 1º fila multiplicada por a”/a Resto a la 2º fila la 1º fila multiplicada por a’/a Queda: a b c d 0 e f g 0 e ’ f ’ g ’ @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

DISCUSIÓN POR GAUSS Finalmente resto a la 3º fila la 2º fila multiplicada por e’/e Y obtengo finalmente: a b c d 0 e f g 0 0 h j Si el sistema hubiera tenido más filas, pero al convertir la matriz en otra de forma escalonada, el resto de filas fueran todas nulas, el efecto conseguido sería el mismo: 0 0 0 0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Al aplicar Gauss en la matriz A/B queda -1 1 1 -1 1 1 EJEMPLO Sea - x + y = 1 -1 1 1 -2x+ 3y = 5  A/B = -2 3 5 -3x+ 2y = 0 -3 2 0 Al aplicar Gauss en la matriz A/B queda -1 1 1 -1 1 1 A/B = 0 1 3  A/B = 0 1 3 0 -1 -3 0 0 0 En la última fila todos los coeficientes son ceros. Pero el término independiente también es cero. Luego el sistema es compatible (tiene solución). En la última fila son todos ceros. Es una fila nula. Quedan dos filas no nulas, que coinciden en número con el número de incógnitas, Luego el sistema es determinado (tiene solución única). El sistema es compatible y determinado: y = 3  Como - x + y = 1 , -x +3 = 1  x = 2  Solución (2, 3) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Resolución por GAUSS-JORDAN RESOLUCIÓN DE SISTEMAS COMPATIBLES DETERMINADOS Sea el sistema: a.x + b.y + c.z = d a b c d a´.x + b’.y + c’.z = d’ A/B = a’ b’ c’ d’ a”.x + b”.y + c”.z = d” a” b” c” d” Opero mediante el Método de Gauss-Jordan y obtengo: a 0 0 k 0 e 0 g 0 0 h j Que significa: a.x = k , e.y = g , h.z = j Luego: x = k / a , y = g / e , z = j / h @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Ejemplos EJEMPLO 1: x + y + z = 6 1 1 1 6 x - y + z = 2 A/B = 1 -1 1 2 Opero mediante el Método de Gauss-Jordan y obtengo: F2=F2 – F1 y F3=F3 – 2·F1 F2 = F2 /( -2) 1 1 1 6 1 1 1 6 0 -2 0 -4  0 1 0 2 0 -1 -5 -17 0 -1 -5 -17 F3=F3 + F2 F3 = F3/(-5) 0 1 0 2  0 1 0 2 0 0 -5 -15 0 0 1 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

… EJEMPLO 1: F1 = F1 – F3 F1 = F1 – F2 1 1 0 3 1(x) 0 0 1 0 1 0 2  0 1(y) 0 2 0 0 1 3 0 0 1(z) 3 Solución del sistema: x = 1 y = 2 z = 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Opero mediante el Método de Gauss-Jordan y obtengo: 1 1 1 0 1 1 1 0 EJEMPLO 2: x + y + z = 0 1 1 1 0 x - y + z = 0 A/B = 1 -1 1 0 2.x + y - 3.z = 0 2 1 -3 0 Opero mediante el Método de Gauss-Jordan y obtengo: 1 1 1 0 1 1 1 0 0 -2 0 0  0 1 0 0 0 -1 -5 0 0 -1 -5 0 0 1 0 0  0 1 0 0 0 0 -5 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1(x) 0 0 0 0 1 0 0  0 1(y) 0 0 0 0 1 0 0 0 1(z) 0 Solución del sistema: x = 0 , y = 0 ,, z = 0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Opero mediante el Método de Gauss-Jordan y obtengo: EJEMPLO 3: x + y + z = 6 1 1 1 6 3.x - y + z = 4 A/B = 3 -1 1 4 2.x + y - 3.z = -5 2 1 -3 -5 4.x +2.z = 10 4 0 2 10 Opero mediante el Método de Gauss-Jordan y obtengo: F2 = F2 – 3·F1, F3 = F3 – 2·F1, F4 = F4 – 4·F1  F4 =F4 – F2 1 1 1 6 1 1 1 6 0 -4 -2 -14  0 -4 -2 -14 0 -1 -5 -17 0 -1 -5 -17 0 -4 -2 -14 0 0 0 0 F2 = F2 / (-4) F3 =F3 + F2 0 1 0,5 3,5  0 1 0,5 3,5 0 -1 -5 -17 0 0 -4,5 -13,5 0 0 0 0 0 0 0 0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

... EJEMPLO 3: F3 = F3/(-4,5) F2 = F2 – F3/2 1 1 1 6 1 1 1 6 1 1 1 6 1 1 1 6 0 1 0,5 3,5  0 1 0 2 0 0 1 3 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 F1 0 F1 – F2 – F3 1 0 0 1 1(x) 1 1 1 0 1 0 2  0 1(y) 0 2 0 0 1 3 0 0 1(z) 3 Solución del sistema: x = 1 , y = 2 , z = 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS COMPATIBLES INDETERMINADOS EJEMPLO 4: x + y + z - 2t = 0 1 1 1 -2 0 x - y + z + t = 3 A/B = 1 -1 1 1 3 2.x + y - 3.z - 3.t = 5 2 1 -3 -3 5 Opero mediante el Método de Gauss-Jordan y obtengo: F2=F2 – F1 y F3 = F3 – 2·F1 F2 = F2/(-2) 1 1 1 -2 0 1 1 1 -2 0 0 -2 0 3 3  0 1 0 -1,5 -1,5 0 -1 -5 1 5 0 -1 -5 1 5 F3 = F3 + F2 F3 = F3/(-5) 0 1 0 -1,5 -1,5  0 1 0 -1,5 -1,5 0 0 -5 -0,5 3,5 0 0 1 0,1 -0,7 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

F1 = F1 – F2 – F3 Paso t al otro lado …. EJEMPLO 4: F1 = F1 – F2 – F3 Paso t al otro lado 1 0 0 -0,4 2,2 1(x) 0 0 2,2 + 0,4.t 0 1 0 -1,5 -1,5  0 1(y) 0 -1,5+1,5.t 0 0 1 0,1 -0,7 0 0 1(z) -0,7-0,1.t Solución del sistema compatible e indeterminado: x = 2,2 + 0,4.t y = -1,5 + 1,5.t z = -0,7 – 0,1.t @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.