Geometría hiperbólica, elíptica y esférica

La geometría plana es una parte de la geometría que trata de aquellos elementos cuyos puntos están contenidos en un plano.

La geometría euclidiana es aquella que estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional. En ocasiones, se considera que la geometría euclidiana es sinónimo de geometría plana.

Un segmento rectilíneo puede ser prolongado infinitamente. Los cinco postulados de Euclides: Por dos puntos pasa una única recta. Un segmento rectilíneo puede ser prolongado infinitamente.

Con un centro y un radio dado sólo se puede trazar una única circunferencia. Todos los ángulos rectos son iguales.

Si una recta, al cortar a otras dos, forma los ángulos internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

Geometrías no euclidianas Se denomina geometría no euclidiana o no euclídea, a cualquier forma de geometría cuyos postulados y propiedades difieren en algún punto de los establecidos por Euclides en su obra “Los Elementos”.

El desarrollo de las geometrías no euclídeas se gestaron en sus comienzos con el objetivo de construir modelos explícitos en los que no se cumpliera el quinto postulado de Euclides.

Geometría Hiperbólica En esta geometría, dada una recta r y un punto P externo a r, hay por lo menos dos rectas distintas que pasan por P las cuales no intersectan a r, por lo que el quinto postulado de Euclides, de las paralelas, resulta falso.

En la geometría hiperbólica la suma de los ángulos interiores de un triángulo es siempre menor de 180°, siendo la diferencia proporcional al área del triángulo.

Fórmula de Lambert -(α +β +δ) = C. A α β δ

Geometría Elíptica En esta geometría, dada una recta r y un punto P externo a r, todas las rectas que pasan por P intersectan a r, por lo que el quinto postulado de Euclides, de las paralelas, resulta falso.

Al igual que la geometría euclidiana y la geometría hiperbólica es un modelo de geometría de curvatura constante, siendo la diferencia entre estos tres modelos el valor de la curvatura:

La geometría euclidiana satisface los cinco postulados de Euclides y tiene curvatura cero. La geometría hiperbólica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura negativa. La geometría elíptica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura positiva.

Geometría Esférica En esta geometría, dada una recta r y un punto P externo a r, hay infinitas rectas distintas que pasan por P las cuáles no intersectan a r, por lo que el quinto postulado de Euclides, de las paralelas, resulta falso.

Dos usos prácticos de los principios de esta geometría son la navegación y la astronomía.

En esta geometría se define a la línea como “la trayectoria más corta entre dos puntos” y se llaman geodésicas .

La fórmula más importante es la del área del triángulo esférico La fórmula más importante es la del área del triángulo esférico. Llamamos ABC al un triángulo esférico, sobre una esfera de radio uno, deduciremos que el área es A (ABC)=A+B+C-.

A modo de conclusión… Debemos decir que estas geometrías sin cumplir con todos los postulados de Euclides planteados en los Elementos son tan consistentes como la geometría euclídea misma.

Carnevale, Paola Silvero, Macarena 4to. Prof. Matemática 2010