Unidad 4 Anexo 2. Capítulo II Unidad 4 Anexo 2. Capítulo II. Transformación de la ecuación de Euler a una de coeficientes constantes.

U-4. A-2. Cap. II. Ecuación de Euler. Los coeficientes de esta ecuación no son continuos en el punto x = 0, por lo que este punto queda excluido de todo intervalo de validez de la solución. La ecuación de Euler siempre puede transformarse en una ecuación con coeficientes constantes mediante la función auxiliar x = et, como se establece en el siguiente teorema. La función x = et transforma la ecuación de Euler: en la ecuación de coeficientes constantes: donde los puntos indican derivación con respecto a t.

U-4. A-2. Cap. II. Ecuación de Euler. Prueba: Para x > 0 se tiene t = ln x y al aplicar la regla de la cadena: y

y al sustituir ambas expresiones en la ecuación de Euler se obtiene: U-4. A-2. Cap. II. Ecuación de Euler. y al sustituir ambas expresiones en la ecuación de Euler se obtiene: o bien,  Bajo el supuesto de que x < 0, usando la transformación x = et, se obtiene un resultado análogo. Observe que el lado derecho de la ecuación también sería una función de t, al reemplazar las x por et. El teorema se puede extender a ecuaciones de Euler de cualquier orden.

El procedimiento se ilustra, a continuación, mediante un ejemplo. U-4. A-2. Cap. II. Ecuación de Euler. Una vez que la ecuación de Euler se transforma en una de coeficientes constantes, su solución se obtiene de manera convencional formando la ecuación característica de su parte homogénea, conocida en algunos textos como la ecuación especial de la ecuación de Euler y encontrando sus raíces. Finalmente, se obtiene la solución deseada volviendo a transformar t = ln x. El procedimiento se ilustra, a continuación, mediante un ejemplo.

Ejemplo: Determine la solución general de la ecuación diferencial: U-4. A-2. Cap. II. Ecuación de Euler. Ejemplo: Determine la solución general de la ecuación diferencial: para x > 0 usando la transformación x = et. Solución: Esta es una ecuación de Euler, cada término del lado izquierdo es de la forma kxny(n) para n = 0, 1 y 2. La transformación x = et reduce esta ecuación a la forma: que es una ecuación homogénea, lineal, de 2° orden, con coeficientes constantes, cuya ecuación característica es:

que es la solución general de la ecuación diferencial dada. U-4. A-2. Cap. II. Ecuación de Euler. y sus raíces son r1 = 1 y r2 = 4, reales y distintas. De este modo, la solución general de la ecuación transformada es: Dado que a ln b = ln ba y eln z = z, la transformación inversa t = ln x permite obtener: o bien: que es la solución general de la ecuación diferencial dada.