Unidad 6 Anexo 1. Capítulo VII. Ecuación de Bessel: orden no entero.

Al reemplazar n por n + 1 e integrar por partes se obtiene: U-6.A-1. Cap. VII. Ecuación de Bessel: Orden no entero. Esta ecuación de Bessel incluye el factorial de números no enteros, su representación más apropiada es la función gamma G(n), que se define para toda v > 0 por la integral impropia: Al reemplazar n por n + 1 e integrar por partes se obtiene: Observe que, para n = 1:

Entonces, para valores enteros de n, se tiene: U-6.A-1. Cap. VII. Ecuación de Bessel: Orden no entero. Entonces, para valores enteros de n, se tiene: y Observe que, por definición, 0! = 1. Por lo que la función factorial puede visualizarse como un caso especial de la función gamma con argumentos enteros.

U-6.A-1. Cap. VII. Ecuación de Bessel: Orden no entero. Una función Jn(x) es analítica para toda x, pero la función Jn(x) diverge en x = 0. Así mismo, el argumento de la función gamma en Jn(x) puede ser negativo. En tal caso, la función gamma está definida mientras el argumento no es un entero negativo. Caso Especial: Cuando n es un múltiplo impar de ½, entonces las raíces de la ecuación indicial difieren en un entero. Por tanto, se esperaría 2ª solución contuviera un término logarítmico de la forma C (lnx) Jn(x).

U-6.A-1. Cap. VII. Ecuación de Bessel: Orden no entero. Para valores no enteros de n, la aplicación repetitiva de la integral impropia a G(k + n + 1) permite obtener: o bien: Cuando n es un múltiplo impar de 1/2 (es decir, 1/2, 3/2, 5/2, etc.) se puede demostrar que: y

U-6.A-1. Cap. VII. Ecuación de Bessel: Orden no entero. Ejemplo: Determine la solución general de la ecuación de Bessel de orden n: donde n no es un entero positivo, alrededor de x0 = 0, para x > 0, usando el método de Frobenius. Solución: En este caso, las raíces de la ecuación indicial son r1 = n y r2 = v, cuya diferencia es no entera. Por lo tanto, de acuerdo con el teorema, la ecuación tiene dos soluciones linealmente independientes, ambas de la forma:

Ésta es la función de Bessel de 1ª clase de orden n, que U-6.A-1. Cap. VII. Ecuación de Bessel: Orden no entero. Para r1 = n, el proceso de resolución para la 1ª solución y1 es análogo al ejemplo anterior, excepto que ahora el factor (1 + n)(2 + n)  (k + n) se debe expresar en términos de la función gamma en lugar del factorial. La 1ª solución de la ecuación de Bessel se puede obtener mediante el reemplazo de (k + n)! por su equivalente en términos de funciones gamma G(k + n + 1). Ésta es la función de Bessel de 1ª clase de orden n, que se reduce cuando v es un entero.

U-6.A-1. Cap. VII. Ecuación de Bessel: Orden no entero. La 2ª solución linealmente independiente y2 se determina a partir de la 1ª al reemplazar n por n, para obtener la función de Bessel de 1ª clase de orden n dada por: Así, la solución general de la ecuación de Bessel de orden n no entero, para x > 0, se puede expresar en la forma: donde las constantes C1 y C2 se determinan a partir de las condiciones iniciales o a la frontera.

U-6.A-1. Cap. VII. Ecuación de Bessel: Orden no entero. En este caso, sin embargo, las funciones Jn(x) y Jn(x) resultan ser linealmente independientes, de manera que la constante C se anula. Por tanto la solución antes obtenida para valores de n no enteros también aplica en este caso. Adicionalmente, la función gamma del denominador se determina de acuerdo con las expresiones antes señaladas: y