Propiedades de los logaritmos NM4 Matemática Álgebra y funciones

Introducción Para comenzar a comprender un poco esto de los logaritmos, veamos el siguiente video.

Introducción

Introducción Definición: En términos sencillos y claros, un logaritmo es un exponente o potencia, a la que un número fijo (llamado base), se ha de elevar para dar un cierto número. Entonces, el logaritmo es la función inversa de la función exponente.

loga c = b ab = c Introducción Matemáticamente hablando, sería: Es decir: ab = c

Introducción Ejemplos: - Log3 81 = 4 es decir: 34 = 81 - Log2 256 = 8 es decir: 28 = 256 - Log4 16 = 2 es decir: 42 = 16

Propiedades de los logaritmos Hay ciertas propiedades que debes conocer de los logaritmos. Veremos las más importantes a continuación.

Propiedad 1 El logaritmo de la base siempre es igual a uno, es decir: loga a = 1 Ejemplos: log5 5 = 1 log89 89 = 1 Log12.500 12.500 = 1

Propiedad 2 El logaritmo de 1 en cualquier base es siempre igual a cero: loga 1 = 0 Ejemplos: log3 1 = 0 log2a 1 = 0 log43 1 = 0

Propiedad 3 El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de sus factores: loga (b·c) = loga b + loga c Ejemplos: log2 (3·5) = log2 3 + log2 5 log3 (6·2·5) = log3 6 + log3 2 + log3 5 log4 (16·4) = log4 16 + log4 4 = 2+1 =3

Propiedad 4 El logaritmo de una fracción es igual a la resta del logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. loga (b/c) = loga b – loga c Ejemplo: log2 3 / 4 = log2 3 – log2 4 log4 (16/4) = log4 16 - log4 4 = 2-1 = 1

Propiedad 5 El logaritmo de una potencia es igual a la potencia multiplicando al logaritmo de la base de la potencia: loga bc = c loga b Ejemplo: log2 53 = 3 log2 5 log3 √5 = ½ log3 5

Propiedad 6 El logaritmo de la base elevado a una potencia es igual a la potencia. Loga ab = b Ejemplo: log3 32 = 2 log4 46 = 6 log2 23 = 3

Propiedad 7 Cambio de base de logaritmo: El logaritmo en base a un número es igual a la fracción entre el logaritmo del primer número con base en un tercer número y el logaritmo del segundo número con base en un tercer número. loga b = logc b / logc a Ejemplo: log2 8 = log3 8 / log3 2

Propiedad 8 Un número elevado al logaritmo con base en el mismo número, es igual al número del logaritmo. a loga b = b Ejemplo: 4 log4 3 = 3 20 log20 4 = 4 b logb 2 = 2 3 log3 5 = 5