Álgebra 2010 Clase N° 1 Conjuntos numéricos I Propiedad Intelectual Cpech

APRENDIZAJES ESPERADOS Utilizar y clasificar los distintos conjuntos numéricos en sus diversas formas de expresión, tanto en las ciencias exactas como en las ciencias sociales y en el ámbito cotidiano. Aplicar la operatoria básica en los números naturales y enteros.

Conjuntos Numéricos Números Naturales 2. Números Cardinales 1.1 Consecutividad numérica 1.2 Paridad e imparidad 1.3 Números primos 1.4 Múltiplos y divisores 1.5 Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor 1.6 Operatoria en los naturales 2. Números Cardinales 3. Números Enteros 3.1 Operatoria en los enteros 3.2 Propiedades 3.3 Prioridad de las operaciones

1. Números Naturales (N) 1.1 Consecutividad numérica Sucesor Conjunto de la forma: IN = {1, 2, 3, 4, 5, …}, conjunto infinito, ordenado y discreto. 1.1 Consecutividad numérica Sucesor Todo número natural tiene un sucesor, y se obtiene sumando 1 al número, es decir: Si n pertenece a IN, su sucesor será n +1.

Antecesor: Todo número natural (exceptuando el 1), tiene un antecesor, y se obtiene al restar 1 al número, es decir: Si n pertenece a IN, su antecesor será n -1 Naturales Consecutivos n - 1 n n + 1 antecesor sucesor

1.2 Paridad e imparidad Números Pares {2, 4, 6, 8, 10……, 2n} Son de la forma 2n, con n en los naturales. Sucesor par: Se obtiene sumando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su sucesor es 2n+2. Antecesor par: Se obtiene restando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su antecesor es 2n-2. 2n - 2 2n 2n + 2 Antecesor par Sucesor par

Números Impares {1, 3, 5, 7, 9…… ,2n-1} Son de la forma 2n-1, con n en los naturales. Se obtiene sumando 2 al número impar. Si el número es 2n-1, entonces su sucesor es 2n+1. Sucesor impar: Se obtiene restando 2 al número impar. Si el número es 2n-1, entonces, su antecesor es 2n-3. Antecesor impar: 2n - 3 2n -1 2n + 1 Antecesor impar Sucesor impar

1.3 Números Primos 1.4 Múltiplos y Divisores Múltiplos Son aquellos números que son sólo divisibles por 1 y por sí mismos: { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…} Nota: El 1 NO es primo. 1.4 Múltiplos y Divisores Múltiplos Se llama “múltiplo” de un número, a aquel que se obtiene al multiplicar dicho número por otro cualquiera. Por ejemplo: 5, 10, 15, 20 son múltiplos de 5.

Se llama “divisor” de un número a aquel que lo divide exactamente. Divisores Se llama “divisor” de un número a aquel que lo divide exactamente. (Cabe en él una cantidad exacta de veces) Por ejemplo: Los divisores de 24 son los números que lo dividen exactamente: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24} Nota: El 5 no es divisor de 24, ya que al dividir 24 por 5 resulta 4,8.

Mínimo Común Múltiplo El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números, corresponde al menor de los múltiplos que tienen en común. Ejemplo: -Algunos múltiplos de 3 son: {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36,…, 60} -Algunos múltiplos de 6 son: {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48…, 60} -Algunos múltiplos de 15 son: {15, 30, 45, 60, 75,…}

El m.c.m. entre 3, 6 y 15 es 30. (Dentro de los múltiplos que tienen en común, 30 es el menor) El m.c.m. entre 3, 6 y 15 se puede obtener a través del siguiente método: Se divide cada número por números primos hasta que en cada columna quede 1, y el producto de ellos corresponde al m.c.m. 6 15 3 2 5 2 1 5 5 1 m.c.m. = 3 ∙ 2 ∙ 5 =30

Máximo Común Divisor El máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más números, corresponde al mayor número que los divide simultáneamente. Ejemplo: -Los divisores de 36 son: {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} -Los divisores de 18 son: {1, 2, 3, 6, 9, 18} -Los divisores de 24 son: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

El M.C.D. entre 36, 18 y 24 es 6. (Dentro de los divisores que tienen en común, 6 es el mayor) El M.C.D. entre 36, 18 y 24 se puede obtener a través del siguiente método: Se divide por números primos que sean divisores de cada número, hasta que ya no se pueda dividir a todos en forma simultánea. 36 18 24 2 18 9 12 3 6 3 4 M.C.D. = 2 ∙ 3 = 6

1.6 Operaciones en IN Adición, sustracción, multiplicación y división Esta información se encuentra en tu libro en la página 18. Propiedades de la Adición: a + b = c, donde a y b sumandos y c suma. a) Clausura: La suma de dos números naturales es siempre un natural. b)Conmutativa: Si a y b son números naturales, entonces se cumple que: a + b = b + a Por ejemplo: 12 + 5 = 5 + 12

Propiedades de la Multiplicación: c) Asociativa: Si a, b y c son números naturales, entonces se cumple que: a +(b+c) = (a+b) + c Ejemplo: 13 +(5+9) = (13+5) + 9 13 + (14) =(18) + 9 27 = 27 Nota: En los naturales no existe neutro aditivo. Propiedades de la Multiplicación: a ∙ b = c, donde a y b factores y c producto. a)Clausura: El producto de dos números naturales es siempre un natural.

Si a y b son números naturales, entonces se cumple que: b) Conmutativa: Si a y b son números naturales, entonces se cumple que: a∙b = b∙a Por ejemplo: 34∙5 = 5∙34 170 = 170 c) Asociativa: Si a, b y c son números naturales, entonces se cumple que: a (b∙c) = (a∙b) c Por ejemplo: 4 ∙ (5∙3) = (4∙5) ∙ 3 4 ∙ (15) = (20) ∙ 3 60 = 60 Nota: El elemento neutro de la multiplicación es el 1. Ver más en las páginas 18 y 19 del Libro.

a - b = c, donde a minuendo, b sustraendo y c diferencia. RECUERDA QUE: En la sustracción: a - b = c, donde a minuendo, b sustraendo y c diferencia. En la división: a : b = c, donde a dividendo, b divisor y c cuociente. Si la división NO es exacta: a : b = c, donde a dividendo, b divisor, c cuociente y d resto. d Ejemplo: 16 : 5 = 3 1 16: dividendo, 5: divisor, 3: cuociente y 1: resto Donde, 16 = 5 ∙ 3 + 1

2. Números Cardinales ( N0) Conjunto de la forma: IN0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, conjunto infinito, ordenado y discreto. 2.1 Operaciones en IN0 Adición, sustracción, multiplicación y división En este conjunto se cumplen las mismas propiedades que en los naturales. La diferencia es que incluye al cero, y por tal razón posee “elemento neutro aditivo”. Si a es un número cardinal, entonces: a + 0 = 0 + a = a

3. Números Enteros (Z) Recta numérica: Conjunto de la forma: Z = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, infinito, ordenado y discreto. Se puede representar como: Z = Z- U IN0 Z = Z- U {0} U Z+ Recta numérica: -3 -2 -1 1 2 3 Z- Z+

Paridad e imparidad Números Pares {…,- 4, - 2, 0, 2, 4,……} Son de la forma 2n, con n en los enteros. Sucesor par: Se obtiene sumando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su sucesor es 2n+2. Antecesor par: Se obtiene restando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su antecesor es 2n-2. 2n - 2 2n 2n + 2 Antecesor par Sucesor par

Son de la forma 2n-1, con n en los enteros. Números Impares {- 3, - 1, 1, 3, 5, 7,...} Son de la forma 2n-1, con n en los enteros. Se obtiene sumando 2 al número impar. Si el número es 2n-1, entonces su sucesor es 2n+1. Sucesor impar: Se obtiene restando 2 al número impar. Si el número es 2n-1, entonces, su antecesor es 2n-3. Antecesor impar: 2n - 3 2n -1 2n + 1 Antecesor impar Sucesor impar

Valor absoluto: El valor absoluto de un número representa la distancia del número al origen (cero de la recta numérica). Por ejemplo, la distancia del 5 al origen es cinco unidades, igual que la distancia del -5 al origen. La notación es: |5| = 5 y |-5| = 5 -5 5 5 unidades Luego: |-20| = 20 |34| = 34 |-12| = 12

3.1 Operaciones en Z Al realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones en los enteros, debemos considerar algunas reglas con respecto a los signos: Si a y b son números enteros, entonces se cumple que: a) Al sumar enteros de igual signo, se suman los números y el signo se mantiene. Ejemplo: 25 + 8 = +33 -5 + - 9 = -14

c) Al restar dos enteros, se debe sumar al minuendo el b) Al sumar enteros de distinto signo, se calcula la diferencia entre sus valores absolutos, conservando el signo del que tiene mayor valor absoluto. Ejemplo: -10 + 7 = -3 75 + -9 = +66 c) Al restar dos enteros, se debe sumar al minuendo el inverso aditivo del sustraendo. a – b = a + - b Ejemplo: 5 – 9 = 5 + - 9 = – 4 a – (-b) = a + b Ejemplo: 12 – (-8) = 12 + 8 = 20

d) Si a y b son dos números enteros de igual signo, entonces: - El producto y el cuociente entre ellos es positivo. Ejemplo: -42 ∙ -8 = +336 -28 : -7 = +4 e) Si a y b son dos números enteros de distinto signo, entonces: - El producto y el cuociente entre ellos es negativo. Ejemplo: 37 ∙ -5 = -185 125 : -5 = -25

3.2 Propiedades La suma de números enteros cumple con la propiedad de Clausura, Conmutatividad y Asociatividad. Ejemplo: (-3)+ 2 = 2 + (-3) -1 = -1 La suma de números enteros tiene “elemento neutro”: el cero. Ejemplo: (-8)+ 0 = -8 Además, cada número entero posee inverso aditivo. Si a  IZ, entonces – a  IZ.

3.3 Prioridad en las operaciones Tanto en los números naturales como en los enteros, hay operaciones que tienen prioridad sobre otras. Existe un orden para resolver ejercicios como: -5 + 15 : 3 - 3 = ? ¿Qué se resuelve primero? El orden para ejecutar las operaciones que involucran paréntesis y operaciones combinadas es: 1° Paréntesis 2° Potencias 3° Multiplicación y/o división (de izquierda a derecha) 4° Adiciones y sustracciones

Resolver : -5 + 15 : 3 - 3 = -5 + 5 – 3 = 0 – 3 = – 3 Los contenidos revisados anteriormente los puedes encontrar en tu libro, desde la página 14 a la 23.