Departamento de Matemática 4° año medio Función Departamento de Matemática 4° año medio Depto. Matemática Prof. Raúl Rojas

Función Una FUNCIÓN es una REGLA que asocia a todos los elementos del conjunto A uno y solo un elemento de otro conjunto B. Se anota f: A B Las funciones se designan generalmente con las letras minúsculas f, g, h.

Clasificación de las Funciones De acuerdo a la forma en que se haga la correspondencia entre los elementos de dos conjuntos, la función definida puede ser de tres tipos:

1. Función Inyectiva Considera la función indicada en el diagrama sagital: En esta función a cada elemento de A, les corresponden imágenes diferentes en B. Se dice que f es una función inyectiva o uno a uno En la siguiente función, que ilustra el diagrama siguiente, no es función inyectiva, ya que , a los elementos a y b de A, les corresponden la misma imagen en B. g no es una función inyectiva

Cuando una función es inyectiva o uno a uno, a los elementos del conjunto final no puede llegar más de una flecha f es una función inyectiva g no es una función inyectiva

2. Función Sobreyectiva f : A B es una función sobreyectiva Observa que, en esta función, todo elemento de B es imagen de algún elemento de A. f : A B no es una función sobreyectiva En una función sobreyectiva, todos los elementos del conjunto de llegada (B) son imágenes de elementos del conjunto de partida (A)

3. Función Biyectiva Una función es biyectiva, si es inyectiva y sobreyectiva f : A B es una función biyectiva g : A B es una función biyectiva En las funciones biyectivas, ambos conjuntos tienen el mismo número de elementos y cada uno se relaciona con uno solo, sin que sobre ninguno.

Evaluación Observa los siguientes diagramas sagitales e indica si las funciones que representan son inyectivas o sobreyectivas. Determina, además, aquellas que son biyectivas. Justifica tu respuesta, en cada caso:

Dominio y Recorrido de una Función

1. Dominio y Recorrido en Diagrama Sagital Dominio: Es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto de partida que se relacionan con algún elemento del conjunto de llegada. Es decir, es el propio conjunto de partida (Pues es Función) Recorrido: Es el conjunto de todos los elementos del conjunto de llegada que han sido relacionados con elementos del conjunto de partida (conjunto de las imágenes) Dom f = { 1, 2, 3, 4 } = A Dom g = { -2, -1, 0, 1, 2 } = X Rec f = { 0, 1, 4, 9 } = B Rec f = { 0, 1, 8 }

2. Dominio y Recorrido en el plano Cartesiano Si conocemos la gráfica de una función, podemos estimar el dominio y el recorrido de f observando cuál es su proyección respecto del eje X, para el dominio, y cuál es respecto del eje Y, para el recorrido.

Ejemplo 1: A partir de la gráfica, podemos observar que los valores que toma la variable independiente x son todos los números reales que se encuentran entre –6 y 4, pintados con color celeste; y todos los valores que toma la variable dependiente y son los números reales entre –4 y 5, pintados con color verde Por lo tanto:

Ejemplo 2: Determina el dominio y el recorrido de la función f (x) = x2 + 3. Tenemos que x puede tomar cualquier valor en los números reales. Por otra parte, observa que en la gráfica los valores que puede tomar y, son solo los números reales mayores o iguales que 3.

Ejemplo 3:

Ejemplo 2: Determina el dominio y el recorrido de la función

3. Dominio y Recorrido en una función por Extensión El DOMINIO es el conjunto formado por las primeras componentes de los pares ordenados que pertenecen a la función. El RECORRIDO está formado por las segundas componentes de los pares ordenados que pertenecen a la función. Sea f : A B , con A = { a, b, c, d } y B = { 1, 2, 3, 5 } f= {(a,1); (b,2); (c,2); (d,5)} es una función, entonces su dominio y recorrido es: Dom f = {a, b, c, d} Rec f = {1, 2, 5}

EVALUACIÓN 1. Dom h = { 3, 4, 5, 6} = E Rec h = {6, 8, 10, 12} Dom f = { 1, 2, 3} = A Rec f = { a, c} 2. Sea g : A B , con A = { 1, 2, 3, 4 } y B = { 4, 5, 6, 7 } g = { (1,4) ; ( 2,4 ) ; (3,5) ; ( 4,5 ) } Dom g = { 1, 2, 3, 4} = A Rec g = { 4, 5}

3. ¿Cuál es el Dominio y el Recorrido de r? Respuesta: Dom r ={1,2,3} Rec r = { c, d }

4. ¿ Cuál es el dominio y recorrido de f?

4.- Determina cuál o cuáles de los siguientes diagramas sagitales representan una función e identificar cuál(es) son inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Además determinar Domonio y Recorrido en aquellas que son funciones