Col·legi BEAT RAMON LLULL Autor: Pedro Vallespir Perelló Departament de Ciències Àrea de Matemàtiques 2008 Matemàtiques 4t ESO Fotografia:Portada quaderns MAT-82 Editorial Claret

Vector, pla i segment. Altura, ortocentre; Col.legi BEAT RAMON LLULL GEOMETRIA ANALÍTICA Vector, pla i segment. Altura, ortocentre; bisectriu, incentre; mediatrius, circumcentre i mitjana, baricentre. Vocabulari Altura: Perpendicular des d’un vèrtex al costat oposat Bisectriu: Recta que divideix un angle en dues parts iguals Mediatriu: Recta que perpendicular a un costat en el punt mitjà Mitjana: Recta que va des d’un vèrtex al punt mitjà del costat oposat Activitat per a fer: Dibuixau les altres altures, bisectrius, mediatrius i mitjanes i cercau els 4 punts notables.

Col.legi BEAT RAMON LLULL D Vector: fletxa AB que té una direcció, un sentit, un punt d’aplicació A(x1,y1) i que acaba a B(x2,y2). El seu mòdul és la distància de A a B. El vector vermell té un mòdul que val C · Producte d’un número per un vector. És un altre vector de les mateixes característiques amb el mòdul multiplicat. Activitats per a fer: Cerca les components de AD; de DA; de CD i de BC. Cerca el mòdul dels vectors CA i de BD. Calcula i dibuixa el vector 3.(AC). Calcula el seu mòdul.

Col.legi BEAT RAMON LLULL Per a sumar i restar vectors ho podem fer com amb ho hem fet a física amb les forces (llei paral·lelogram). F1+F2 = Fr F1-F2 seria dibuixar el vector oposat (contrari) a F2 i sumar-lo a F1. F1-F2 = F1 + (-F2) F2 Fr F1 F1 , - F2 Combinació lineal de dos vectors: és una operació que consisteix en multiplicar els vectors per uns determinats nombres i sumar els vectors resultants. a. u + b. v

Col.legi BEAT RAMON LLULL Activitats per a fer: Donats el vectors u = (3,-2) i v = (-1,1/2), cerca les combinacions lineals següents: 2u + 3v; -u+2v; 2/3.u -1/2.v 2. Calcula la suma de la bisectriu del primer quadrant amb un mòdul de 3 unitats i la bisectriu del segon quadrant amb un módul de 4 unitats. Fes-ho gràficament i analíticament. 3. Calcula “a” i “b” si es compleix: a.(2,3) + b.(1,-2) = (5,7)

Col.legi BEAT RAMON LLULL PUNT MITJÀ D’UN SEGMENT Es cerca fent la semisuma dels seus extrems. Lògic! ESTAN ALINEATS AQUESTS TRES PUNTS? Si són d’una mateixa recta, sí. Amb la fórmula de l’equació d’una recta que passa per dos punts es pot verificar. b) Si aprenem una fórmula nova, també. Donats els 3 punts A(x1,y1), B(x2,y2) i C(x3,y3), la condició perque A, B i C estiguin en línia implica que han de complir: x2-x1 y2-y1 -------- = --------- x3-x2 y3-y2 y2-y1 y3-y2 -------- = --------- x2-x1 x3-x2 Que és el “mateix” que en el seu dia empràrem per fer pendents.

Col.legi BEAT RAMON LLULL Activitats per a fer: Troba el punt mitjà del segment que determinen a) P(2,-1) i Q(5,4). b) P(1,0) i Q(1/3,1/2) 2. Verifica si estan o no en línia recta els punts següents: a) (1, 2); (3, 6) i (4, 8) b) (2, -1); (0, 2) i (3, -2) 3. Esbrina un tercer punt que estigui en la mateixa recta que la que passa per: a) (4, 0) i (0, 3) b) (1/2, -1) i (2, -2) Esbrina dos punts que estiguin en la mateixa recta que la que passa per c) (3,4) i (0,2) d) (-5,1) i (-2,-1) i que estiguin un en el 3r quadrant i l’altre en el 4t quadrant, respectivament.

Col.legi BEAT RAMON LLULL EQUACIONS DE RECTES y = mx + n Punt-pendent y – yo = m (x –xo) Un vector que uneix dos punts qualsevols d’una recta, s’anomena vector director de la recta. A partir del vector director (a,b) s’obté el pendent “b/a” (=m) i sabent un punt podem aplicar la fórmula de l’apartat B. D) Forma general o implícita: Ax+By+C=0 E) Forma explícita (la de l’apartat A) F) Equació paramètrica G) Equació vectorial H) Equació contínua I) Equació normal x.cos α +y.sinα –d = 0 J) Equació canònica x y --- + ---- = 1 a b

Col.legi BEAT RAMON LLULL Activitats per a fer: 1. Si una recta passa pel punt (2,3) i té vector director (5,-2), quina relació verifiquen els punts d’aquesta recta? 2. Si una recta té vector director (1,1), dóna 5 vectors directors més d’aquesta recta. 3. Éscriu de tres distintes maneres l’equació de la recta que passa per (1,0) i té vector director u= (1,0). 4. Escriu en forma general les rectes que passen per: a) P(2,1) i Q(0,3) b) P(1,2) i té vector director (5,5) c) Passa per (5,2) i té la mateixa direcció que (x-3)/2 =(y-1)/2 d) Passa pel punt d’abscisa -3 i té la mateixa direcció que 5x+2y-8=0 5. Sabries escriure en forma canónica la recta que passa per (0,3) i (2,0)?

Col.legi BEAT RAMON LLULL RECTES PARAL·LELES I PERPENDICULARS * Paral.leles: si tenen el mateix pendent. * Perpendiculars: si el producte dels seus pendents dóna -1. Si escrivim les rectes en la forma general o implícita: Ax+By+C=0, se’ns faciliten els exercicis de paral.lelisme i perpendicularitat ja que: el pendent val –A/B. Per tant dues paral·leles tenen pendent –A/B i en dues perpendiculars, una té –A/B i l’altra B/A (o sigui hem d’invertir i canviar de signe) (ja que hem dit que el producte dels seus pendents dóna –1)

Col.legi BEAT RAMON LLULL Activitats per a fer: Mira si les rectes -3x+2y-5=0 i 6x-4y+11=0, són paral·leles Idem: 2x+3y+15=0 i y= 2x/3 – 5 Idem: y= 3x + 5 i (x-1)/3 = (y-2)/0 Com són entre sí ( o quina posició relativa tenen una respecte de l’altre) les rectes 3x+2y+1=0 i x+y+5=0? Troba les equacions dels costats d’un quadrilàter de vèrtexs P(1,3), Q(3,4), R (5,3) i S(3,1). Analitza com són. Troba el punt d’intersecció de la recta 3x+y+1=0 amb la que passa per (1,3) i (-2,-1). 7. Troba el valor de “a” per tal que les rectes 3x+5y-7=0 i 6x+ay=1 siguin paral·leles. Cerca la recta perpendicular a 5x+2y+3=0 que passi pel punt (1,3) Cerca l’equació general de totes les rectes perpendiculars a (x-3)/5 = (y+2)/8 10. Són perpendiculars 3x-y+11=0 i x-3=(y+2)/3? 11. Sigui r1 la recta que passa per (1,2) i (6,8) i r2 la que passa per (0,3) i (-2,5). Són perpendiculars aquestes rectes?

Col.legi BEAT RAMON LLULL RECTES PARAL·LELES ALS EIXOS x = 6 x = - 3 y = 3 y = - 2 x = 2

Col.legi BEAT RAMON LLULL DISTÀNCIA ENTRE DOS PUNTS Donats dos punts, A (x1,y1) i B (x2,y2), podem calcular la distància que hi ha entre ells aplicant el que hem dit de com es calcula el mòdul d’un vector: Com que una circumferència és una figura que té tots els seus punts que equidisten (és a dir, tots estan a la mateixa distància) del centre de la circumferència, i aquesta distància es diu RADI, r, podem escriure: I si el centre és (a,b), podem substituir (x1,y1) per (a,b) i elevant al quadrat s’obté l’expressió que es reconeix com l’equació d’una circumferència:

Col.legi BEAT RAMON LLULL Activitats per a fer: Sabent que les dues rectes són paral·leles, esbrina la distància d’una a l’altra: 2x-3y+5=0 i 2x-3y+1=0 2. Troba la distància entre: (2,0) i (-4,5) (1,1) i (4,4) Troba la distància entre les parelles de rectes següents: 2x+5y-1=0 x+2y+5=0 4x+10y+2=0 2x+y+5=0 Escriu l’equació de les circumferències que tenen: Centre (-2,3) i radi 2 Centre (1,2) i radi el mòdul del vector que té de components (5,4) Escriu l’equació general de les circumferències que tenen el seu centre a (2,5). 6. Digués el centre i el radi de les circumferències: x2+y2-2x-3=0 (x-1)2+y2=4 (x-2)2+(y-4)2=25