Matemáticas Aplicadas CS I LÍMITES Y CONTINUIDAD U.D. 7 * 1ºBCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I INDETERMINACIONES U.D. 7.4 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Límites con infinitos Al calcular el límite de una función polinómica, y = P(x), en el infinito, puede ocurrir: Lím P(x) = + oo x +oo Lím P(x) = – oo x – oo Lím P(x) = – oo x  – oo El signo del resultado dependerá del signo que tenga la potencia de mayor exponente del polinomio que caracteriza la función, que será el que prevalezca. Cuando x  – oo , habrá que tener especial cuidado con el hecho tener potencias de exponente par o impar, pues un exponente par cambia el signo negativo a positivo y un exponente impar no. Lím + N / P(x) = N / (+ oo) = 0 x +oo Lím – N / P(x) = – N / (– oo) = 0 Lím P(x) = N / (– oo) = 0 x – oo Lím P(x) = – N / (+ oo) = 0 x  – oo @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplos: Lím - x5 = - (- oo)5 = – (– oo) = (– oo) x  – oo Lím x + 2 = oo + 2 = oo x +oo Lím x2 + 3.x + 2 = (– oo)2 + 3.(– oo) + 2 = oo – oo + 2 = oo x – oo Lím x3 – x = (- oo)3 – (- oo) = – oo + oo = – oo Lím - x3 + x2 = - (- oo)3 + (- oo)2 = – (– oo) + oo = + oo Lím 1 / (x – 2) = 1 / (oo – 2) = 1 / oo = 0 Lím 1 / (3 – x2) = 1 / (3 – (– oo)2) = 1 / (3 – oo) = 1 / (– oo) = 0 Lím 1 / (x + x3) = 1 / (oo + (– oo)3) = 1 / (oo – oo) = 1 / (– oo) = 0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Indeterminada [0.oo] Sabemos que 0.k = 0 siempre. Sabemos que oo.k = oo siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con el producto 0.oo, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos entonces que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [0.oo] Para resolverla se procede así: Lím f(x). Lím g(x) = [0.oo] = Lím f(x).g(x) = … = L xa xa xa Ejemplo 1 x x2 - 1 1 0 x (x+1).(x-1) 1+1 lím ‑‑‑‑‑‑‑ . ----------- = --- . --- = [oo.0] = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑------------- = ---- = 2 x1 x - 1 x 0 1 x1 (x – 1).x 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo 2 1 x3 + 1 1 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑ . Lím ---------- = --- . ----- = - [oo.0] x – 1 x +1 x – 1 x 0 – 1 Resolvemos la indeterminación: (x+1).(x2 – x +1) (x2 – x +1) lím ‑‑‑‑‑‑‑‑----------------- = lím --------------- = x – 1 (x +1).x x – 1 x (– 1)2 – (– 1) + 1 1 + 1 + 1 3 = ‑‑‑‑‑‑‑‑----------------- = ------------- = ------ = – 3 – 1 – 1 – 1 Como se ve, el limite resultante no vale ni 0 ni oo. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Indeterminada [oo/oo] Sabemos que oo / k = oo siempre. Sabemos que k / oo = 0 siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con el cociente oo / oo, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [oo / oo] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se divide numerador y denominador entre la potencia de x elevada al mayor de los exponentes que presente dicha variable. N(x) / xm Lím f(x) = Lím -------------- xa xa D(x) / xm Donde m es el mayor de los grados de los polinomios N(x) y D(x) Nota: Es la misma indeterminación [oo / oo] , [-oo / oo], [ oo / - oo] @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLOS INTUITIVOS DE LÍMITES EN EL INFINITO Ejemplo 1 y = x / (x – 3) Para x = 1000  y = 1000/997 = 1,003 Para x=10000  y = 10000/9997 = 1,0003 Para x = 100000  y = 1,00003 Por mucho que aumente la variable x, el valor de y cambia muy poco. Además se acerca a y=1, aunque nunca llega. Lím f(x) = 1 x+oo Ejemplo 2 y = x / (x2 – 4) Para x = 1000  y = 1000/999996 = 0,001 Para x=10000  y = 10000/9999996 = 0,0001 Para x = 100000  y = 0,00001 Para x = 1000000  y = 0,000001 Lím f(x) = 0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo 1 Ejemplo 1 2.x3 - 3x + 1 2.oo3– 3.oo + 1 oo lím ‑‑‑‑‑‑‑------------- = --------------------- = [-----] xoo x3 – x2 - 5 oo3 – oo2 – 5 oo Se divide numerador y denominador entre x elevada al mayor de los exponentes ( x3 ) 2 - (3/x2)+ (1/x3) 2 – (3/oo) + (1/oo) 2 – 0 + 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑----------------- = -------------------------- = ------------- = 2 xoo 1 – (1/x) – (5/x3) 1 – (1/oo) – (5/oo) 1 – 0 - 0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo 2 Ejemplo 2 2.x3 - 3x + 1 2.oo3– 3.oo + 1 oo lím ‑‑‑‑‑‑‑------------- = ------------------------ = [-------] xoo 5 - x2 5 - oo2 - oo Se divide numerador y denominador entre x elevada al mayor de los exponentes ( x3 ) 2 - (3 / x2) + (1 / x3) 2 – (3/oo) + (1/oo) 2 – 0 + 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑--------------------- = -------------------------- = -------------- = xoo (5 / x3 ) - (1 / x) (5/oo) - (1/oo) 0 – 0 = 2 / 0 = oo  Vemos que NO existe límite en el infinito. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo 3 Ejemplo 3 2.x + 1 2.oo + 1 oo lím ‑‑‑‑‑‑‑------------- = ------------------------ = [-------] xoo 5 + x2 5 + oo2 oo Se divide numerador y denominador entre x elevada al mayor de los exponentes ( x2 ) (2 / x) + (1 / x2) (2/oo) + (1/oo) 0 + 0 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑--------------------- = ----------------------- = ---------- = -- = 0 xoo (5 / x2 ) + (x2 / x2) (5/oo) + 1 0 +1 1 Vemos que el límite en el infinito es 0. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Indeterminada [oo - oo] Sabemos que k + oo = oo siempre. Sabemos que k - oo = - oo siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con una diferencia oo - oo, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos entonces que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [oo - oo] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se multiplica y divide por el conjugado de la expresión que ha dado lugar a la indeterminación. Si el resultado es otra indeterminación, se procederá a resolverla. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo 1 Lím x – √(x2 - x) = [oo – oo] = xoo (x – √(x2 - x)). (x + √(x2 - x)) Lím ----------------------------------------------------- = xoo x + √(x2 - x) x2 - ( x2 - x ) x Lím ------------------------------ = Lím ------------------------- = xoo x + √(x2 - x) xoo x + √(x2 - x) Simplificando todo entre x, queda: 1 1 Lím ------------------------------ = ------------------------- = 1 / (1+1) = 1 / 2 xoo 1 + √(1 - 1/x) 1 + √( 1 – 0) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo 2 Lím √(x2 – 2x + 3) – x =[oo – oo] = xoo (√(x2 – 2x + 3) – x ). (√(x2 – 2x + 3) + x) Lím ----------------------------------------------------------- = xoo √(x2 – 2x + 3 ) + x x2 – 2.x + 3 – x2 – 2x + 3 Lím -------------------------------- = Lím ---------------------------- = xoo √(x2 – 2x + 3) + x xoo √(x2 – 2x + 3) + x Simplificando todo entre x, queda: – 2 + 3 / x – 2 + 0 Lím --------------------------------- = --------------------- = – 2 / (1+1) = – 2 / 2 = – 1 xoo √(1 – 2/x + 3/ x2) + 1 √( 1 – 0 + 0) + 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo 3 Lím √(x2 – 5) – x =[oo – oo] = xoo (√(x2 – 5) – x ). (√(x2 – 5) + x) Lím ----------------------------------------------------------- = xoo √(x2 – 5) + x x2 – 5 – x2 – 5 Lím ------------------------ = Lím ------------------------- = – 5 / oo = 0 xoo √(x2 – 5) + x xoo √(x2 – 5) + x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplos 4, 5 y 6 EJEMPLO 4 Lím √(x3 – 5) – x = oo3/2 – oo1 = oo1,5 – oo1 = oo  No hay límite. xoo EJEMPLO 5 Lím 1 / [√(x4 – 5.x) – x3 ] = 1 / [oo4/2 – oo3 ] = = 1 / [oo2 – oo3 ] = 1 / [– oo] = 0 EJEMPLO 6 Lím x2 – √(x2 – 5.x) = oo2 – oo1 = oo  No hay límite. Nota: Atención a la POTENCIA REAL de los infinitos. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I