Área entre curvas

El desarrollo del Cálculo Integral se originó en parte para calcular el área bajo una curva. El cálculo de áreas entre una curva dada por y=f(x) y el eje x en el intervalo [a,b] nos llevó a definir una suma de Riemann y el área entre la curva y el eje horizontal se calculó tomando el  límite de la suma de Riemann cuando  n--->

Área entre dos funciones Sean dos funciones, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] En este caso, f(x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a; b].

Como puede verse en los gráficos siguientes, el área A resulta ser la diferencia entre dos áreas: el área A1 de la región comprendida entre el gráfico de f y el eje x para a ≤ x ≤ b y el área A2 de la región comprendida entre el gráfico de g y el eje x para a ≤ x ≤ b:

Área entre dos curvas

Ejemplo Calcular el área comprendida entre las curvas 𝑦=𝑥 2 , 𝑦=3𝑥 , en el intervalo [1,2]. Solución

El área comprendida entre estas dos curvas está definida por 1 2 3𝑥− 𝑥 2 𝑑𝑥

1 2 3𝑥− 𝑥 2 𝑑𝑥 = 3 𝑥 2 2 − 𝑥 3 3 2 1 =6− 8 3 − 3 2 + 1 3 = 13 6 𝑢 2

Ejemplo Obtenga el área que encierran las curvas 𝑦 =𝑥 2 −2𝑥 y 𝑦=12−𝑥 2 . Solución. En este caso habrá que determinar el intervalo, por lo que necesitamos obtener la intersección entre las curvas y para ello se igualan las ecuaciones 𝑥 2 −2𝑥 =12−𝑥 2 2 𝑥 2 −2𝑥−12=0 2 𝑥 2 −𝑥−6 =0 2 𝑥−3 𝑥+2 =0

𝑥 1 =3 y 𝑥 2 =−2 Sustituyendo estos valores en cualquiera de las dos ecuaciones 𝑦 1 =3 𝑦 𝑦 2 =8 Por lo tanto, hay dos puntos de intersección 𝑃 1 = 3 ,3 𝑦 𝑃 2 = −2 ,8

El área está determinada por A = −2 3 2− 𝑥 2 − 𝑥 2 −2𝑥 dx A = −2 3 −2 𝑥 2 +2𝑥+12 dx A = −2𝑥 3 3 + 2 𝑥 2 2 +12𝑥 3 −2 A = −2 27 3 +9+36− 16 3 +4−24 A = −54 3 +65− 16 3 A = 125 3 𝑢 2

Ejemplo Calcular el área entre las curvas 𝑥= 1 2 𝑦 2 −3 y 𝑦=𝑥−1 Solución Para obtener las intersecciones, se igualan las curvas 𝑦+1= 1 2 𝑦 2 −3 𝑦− 1 2 𝑦 2 =−4 2𝑦− 𝑦 2 +8=0 𝑦−4 𝑦+2 =0 𝑦 1 =4 , 𝑦 2 =− 2 Sustituyendo estos valores en la ecuación de una de las curvas se obtiene 𝑥 1 =5 , 𝑥 2 =−1 Por lo que los puntos de intersección son 𝑃 1 5 ,4 𝑦 𝑃 2 −1,−2 Ejemplo

En este caso, los rectángulos a construir deben ser horizontales, por lo que se integrará con respecto a 𝑦 Por lo que el área estará dada por: 𝐴= −2 4 𝑦+1− 1 2 𝑦 2 −3 𝑑𝑦 𝐴= −2 4 𝑦+4− 1 2 𝑦 2 𝑑𝑦 𝐴= 𝑦 2 2 +4𝑦− 𝑦 3 6 4 −2 𝐴=8+16− 64 6 + 28 6 𝐴=18 𝑢 2