OLIMPIADA MATEMÀTICA 2008 FASE PROVINCIAL PROVA INDIVIDUAL 12 - 14 ANYS TORREBLANCA, 10 DE MAIG

1. - Tenim 31 caixes, cadascuna amb una o més monedes 1.- Tenim 31 caixes, cadascuna amb una o més monedes. Entre elles hi ha 25 que tenen dues o més monedes, 17 que tenen tres o més monedes, 15 que tenen quatre o més monedes, 9 que tenen cinc o més monedes i 6 que tenen sis monedes. Sabem que cap caixa té més de 6 monedes. Quantes monedes hi ha en total? Hi hauran (31 – 25 =) 6 caixes amb una moneda. (25 – 17 =) 8 caixes amb dues monedes (17 – 15 =) 2 caixes de tres monedes. (15 – 9 =) 6 caixes de 4 monedes (9 – 6 =) 3 caixes de 5 monedes I segons l’enunciat 6 caixes de sis monedes. Per tant hi ha en total: 6·1+8·2+2·3+6·4+3·5+6·6 = 103 monedes

2.- Escriu un nombre enter entre 1 i 9 en cada casella, sense repeticions, perquè en cada fila la multiplicació dels tres nombres siga igual al nombre indicat a la seua dreta i en cada columna la multiplicació dels tres nombres siga igual al nombre indicat davall. Es un joc paregut al SODOKU. Com 70 = 2·5·7 probem a aquestos nombres com els components de la primera fila. Per a la segon fila la cosa es complica un poquet més: 24 = 3·8·1 = 6·4·1. Probem amb 3, 8 i 1 per a la segon fila. Per a la tercera fila, com ja hem utilitzat el 1, el 2, el 3, el 5, el 7 i el 8, ens quedem el 4, el 6 i el 9 (4·6·9 = 216). Una possibilitat es dons

El producte de la primera columna dona 24, com deu donar 64 = 26 fiquem en la segon posició al 8 que estava en la segon columna 2 5 7 70 24 216 3 8 1 4 6 9 El producte de la segon columna dona 90 i deu donar 45 (= 5·1·9), aixi que cambiem les dos últimes posicions per les dos últimes posicions de la tercera columna i queda 2 5 7 70 24 216 8 3 1 4 6 9 64 90 2 5 7 70 24 216 8 1 3 4 9 6 64 45 126

Hi ha més solucions. Per exemple agafant la segon factorització del 24 tenim 5 7 70 24 216 6 4 1 3 8 9 36 2 5 7 70 24 216 4 6 1 8 3 9 64 90 2 5 7 70 24 216 4 1 6 8 9 3 64 45 126

3. - Marc, Nicolau i Pau tenen entre els tres 490 monedes d'1 euro 3.- Marc, Nicolau i Pau tenen entre els tres 490 monedes d'1 euro. Marc va gastar la cinquena part de les seues monedes, Nicolau va gastar la tercera part de les seues monedes i Pau va gastar la quarta part de les seues monedes. Ara els tres xics tenen tots igual quantitat de monedes. Quantes monedes tenia inicialment cadascú? Situació típica de passar informació a equacions: Siga M, N i P les monedes que tenen Marc, Nicolau i Pau. Aleshores: De les dues últimes equacions, aïllant M i P

I substituïnt en la primera Que porta a:

4. - Siga ABCD un rectangle amb AB = 30 i BC = 16 4.- Siga ABCD un rectangle amb AB = 30 i BC = 16. Si E i F són punts en els costats AB i CD, respectivament, tals que el quadrilàter AFCE és un rombe. a) Calcula la longitud d'AC. b) Calcula la longitud del costat del rombe. c) Calcula l’àrea del rombe. d) Calcula la longitud d'EF. F C D A E B

a) Aplicant Pitàgores b) Siga x = costat del rombe =AE = EC. Aleshores EB = 30-x i tenim: Aplicant Pitàgores:

D F C c) Utilitzant la fórmula: A = base · altura 16 A E B d) I ara utilitzant l’altra manera de calcular l’àrea del rombe: l’àrea es el semiproducte de diagonals

5.- Volem reformar la plaça major de Cullera d’acord amb el següent disseny:   La plaça és quadrada de 50 m de costat, i tindrà cinc zones ajardinades, quatre en els cantons i una central; la zona empedrada té d’amplària 8 m. Hem de pagar 25€ per cada metre quadrat de zona empedrada i 30€ per cada un de zona ajardinada. ¿Quant costarà la reforma de la plaça?

Tenim: El cost de la reforma serà per tant de, aproximadament: 25·1055,57 + 30·1444,42 = 69.722 €