Equacions amb dues incògnites.

Equacions amb dues incògnites El triple d’un nombre més un altre és igual a 5 3x+y =5 Tenim dues incògnites = x i y L’equació és de primer grau (tant la x com la y estan elevats a 1) Quins valors podem donar a x i a y perquè l’equació tingui solució?

Resolució Per trobar solucions d’una equació de primer grau en dues incògnites, procedirem de la manera següent: - Tenim la següent equació: 3x+y=5 Aïllem una de les incògnites, per exemple, la y= 5-3x Construïm una taula de valors, assignant valors a la x (la incògnita NO aïllada). x Y=5-3x -2 5 - 3· (-2) = 5 + 6 = 11 -1 5 - 3· (-1) = 5 + 3 = 8 5 - 3· 0 = 5 + 0 = 5 1 5 - 3· (+1) = 5 -3 = 2 2 5 - 3· (2) = 5 -6 = -1

Representació gràfica de les solucions x Y=5-3x -2 5 - 3· (-2) = 5 + 6 = 11 -1 5 - 3· (-1) = 5 + 3 = 8 5 - 3· 0 = 5 + 0 = 5 1 5 - 3· (+1) = 5 -3 = 2 2 5 - 3· (2) = 5 -6 = -1

Representació gràfica x Y=-2x +5 Punt 1 -2· (1) + 5 = -2 + 5= +3 A(1,3) 2 -2· (2) + 5 = -4 + 5= +1 B(2,1) 3 -2· (3) + 5 = -6 + 5= -1 C(3,-1) 4 -2· (4) + 5 = -8 + 5= -3 D(4,-3) 5 -2· (5) + 5 = -10 + 5= -5 E(5,-5)

Sistema d’equacions Un sistema d’equacions és una parella d’equacions formada per dos incògnites cada una on es busca una solució comuna Llenguatge algebraic La suma de dos només és igual a 5 x + y=5 El doble del primer menys 4 és igual al segon 2x -4 =y

Resolució gràfica

La solució del sistema és: x =1 Y=2 x + y =3 Y = – x + 3 y= - x +3 x – y =-1 -y= -x – 1 y= x + 1 x y=x+1 Punt -1 -1 + 1=0 (-1,0) 0 + 1= 1 (0,1) 1 1 + 1 = 2 (1,2) x y= -x + 3 Punt -1 -(-1) + 3 = 4 (-1,4) 0 +3 = +3 (0,+3) 1 -1 + 3=2 (1,2) La solució del sistema és: x =1 Y=2

Sistemes equivalents Mètodes de resolució de sistemes Dos sistemes d’equacions són equivalents si tenen les mateixes solucions Mètodes de resolució de sistemes Es poden fer servir diferents mètodes: - Mètode de substitució - Mètode d’igualació - Mètode de reducció

Mètode substitució

Mètode de substitució

Mètode d’igualació

Mètode d’igualació

Mètode de reducció

Mètode de reducció

Tipus de sistemes Segons les solucions, els sistemes es classifiquen en: Compatibles determinats: 1 solució Compatibles indeterminats: infinites solucions Incompatibles: no tenen solució

Sistema compatible determinat El sistema compatible determinat té una única solució. La representació gràfica del sistema són dues rectes que es tallen a un sol punt (tenen un únic punt en comú) x + 2·y = 5, 3·x + y = 10 Solució: x = 3 y = 1

Sistema compatible indeterminat El sistema compatible indeterminat té infinites solucions. La representació gràfica del sistema són dues rectes que coincideixen (tots els punts són comuns) 3·x + 2·y = 10 6·x + 4·y = 20

Sistemes incompatibles El sistema incompatible no té solució. La representació gràfica del sistema són dues rectes paral·leles (no tenen cap punt en comú) -x + 3·y = 9 2·x - 6·y = 1

Resolució de problemes Lectura atenta de l'enunciat Calcula dos nombre que la seva suma és 10 i la diferència és 6. Elecció de la incògnita Primer nombre: x Segon nombre y Plantejament del sistema x + y =9 x – y =6 Resolució de l’equació Mètode de reducció 2x=15 Resposta x= 7,5 y = 1,5 Comprovació x + y =9 x - y =9 7,5 + 1,5 =9 7,5 – 1,5 =6