Applications of the Derivative Chapter 4 Applications of the Derivative Aplicaciones de la derivada Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
4.1 Maxima and Minima Máximos y mínimos Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
Supongo que f esta definida en un intervalo I que contiene a c Supongo que f esta definida en un intervalo I que contiene a c. Luego, f tiene un máximo absoluto en el intervalo I en el punto c si f(c)>=f(x) para toda x en I. Similarmente, f tiene un mínimo absoluto en el intervalo I en el punto c si f(c) <=f(x) para toda x en I. Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
La función f(x)=x2 tiene diferentes extremos absolutos dependiendo del intervalo de interés Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
No tiene valor máximo absoluto Mínimo absoluto Mínimo absoluto de 0 en x= y x=1
Teorema de valor extremo Una función que es continua en un intervalo cerrado tiene un valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto en el intervalo
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Máximo absoluto Máximo local Mínimo absoluto Mínimo local Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
Suponga que I es un intervalo en el cual f es definida y c es un punto interior de I. Si f(c)>=f(x) para todo x en algún intervalo que contiene a c, luego f(c) es un máximo local de f. Si f(c)<=f(x) para todo x en algún intervalo abierto que contiene c, luego f(c) en un mínimo local de f. O Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
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Máximo local en c Pendiente de las líneas secantes >=0 Pendiente de las líneas secantes <=0
Teorema: Teorema de puntos extremos locales Si f tiene un mínimo o máximo local en c y f’(c) existe. Luego f’(c)=0 Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
Punto critico Un punto critico c del dominio de f en el cual f’(c)=0 o f’(c) no existe se llama punto critico de f. Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
Un máximo local en c donde f’(c) no existe Un mínimo local en c donde f’(c) no existe Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
f’(c)=0, pero no existe mínimo/máximo local en c. f’(c) no existe, pero no hay mínimo/máximo local en c. Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
Mínimo local (y absoluto)
Procedimiento para localizar los máximos y mínimos absolutos Asuma que la función f es continua en el intervalo cerrado Localice los puntos críticos en (a,b), donde f’(c)=0 o f’(c) no existe. Estos puntos son los candidatos para máximo y mínimo absoluto. Evalué f en los puntos críticos y en los extremos de Elija el valor más grande y más pequeño de f del paso 2 para el valor máximo y mínimo absoluto
Máximo absoluto en (-2,32) Mínimo local y absoluto en (3/2,-27/16)
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What Derivatives Tell Us 4.2 What Derivatives Tell Us Qué nos dicen las derivadas? Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
f tiene un mínimo local en c f tiene un máximo local en c
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Teorema. Test de la primera derivada Suponga que f es continua en un intervalo que contiene al punto critico c y asuma que f es diferenciable en un intervalo que contiene a c, excepto quizás en c Si f’ cambia de signo positivo a negativo a medida que x incrementa al pasar sobre c, luego f tiene un máximo local en c Si f’ cambia de signo negativo a positivo a medida que x incrementa al pasar sobre c, luego f tiene un mínimo local en c. Si f’ no cambia de signo en t, luego f no tiene valor extremo en c
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Teorema. Un extremo local implica un extremo absoluto Suponga que f es continua en un intervalo I que contiene al punto critico c Si un mínimo local ocurre en c, luego f(c) es el mínimo absoluto de f en I. Si un máximo local ocurre en c, luego f(c) es el máximo absoluto de f en I. Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
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Creciente Decreciente Puntos críticos mínimo
Creciente Decreciente Puntos críticos mínimo máximo
Creciente Decreciente Puntos críticos máximo mínimo
Creciente Decreciente Puntos críticos máximo
Creciente Decreciente Puntos críticos máximo
Creciente Decreciente Puntos críticos mínimo máximo
Creciente Decreciente Puntos críticos mínimo
f‘(x) disminuye a medida que x incrementa Cóncava hacia arriba f‘(x) disminuye a medida que x incrementa f‘(x) aumenta a medida que x incrementa Cóncava hacia abajo Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
Definición: Concavidad y puntos de inflexión Sea f un función diferenciable en el intervalo abierto I. Si f´ incrementa en I, luego f es cóncava hacia arriba en I. Si f’ disminuye en I, luego f es cóncava hacia abajo en I. Si f es continua en c y f cambia de concavidad en c (de cóncava hacia arriba a hacia abajo, o viceversa), luego f tiene un punto de inflexión. Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
Teorema: test de concavidad Si f’’>0 en I, luego f es cóncava hacia arriba en I Si f’’<0 en I, luego f es cóncava hacia abajo en I Si c es un punto de I en donde f’’(c)=0 and f’’ cambia de signo en c, luego f tiene un punto de inflexión. Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
C no es un punto de inflexión Cóncava hacia arriba Cóncava hacia arriba Cóncava hacia arriba Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo Punto de inflexión: concavidad cambia en c Cóncava hacia abajo Cóncava hacia abajo Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba C no es un punto de inflexión Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
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Teorema: Test de la segunda derivada para extremos locales Suponga que f’’ es continua en el intervalo que contiene a c con f’(c)=0 Si f’’(c)>0, luego f tiene un mínimo local en c Si f’’(c)<0 , luego f tiene un máximo local en c Si f’’(c) =0, luego el test no nos permite concluir Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
4.3 Graphing Functions Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
Paso para graficar una función Identificar el dominio de interés Explotar la simetría de la función Encontrar la primera y la segunda derivadas Encontrar los puntos críticos y los posibles puntos de inflexión Encontrar los intervalos en los cuales la función esta aumentando/disminuyendo y donde es cóncava hacia arriba/abajo Identifique los valores extremos y puntos de inflexión Localice las asíntotas horizontales/verticales Encuentro los interceptos Realice la grafica Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
Incrementa cóncava hacia abajo Disminuye cóncava hacia abajo Disminuye cóncava hacia arriba Incrementa cóncava hacia arriba Disminuye cóncava hacia arriba Incrementa cóncava hacia arriba Mínimo local Máximo local Mínimo local Punto de inflexión Punto de inflexión Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
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Considere la siguiente función, dibújela siguiendo el procedimiento explicado en la diapositiva 47 Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
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Considere la siguiente función, dibújela siguiendo el procedimiento explicado en la diapositiva Creciente Decreciente
Considere la siguiente función, dibújela siguiendo el procedimiento explicado en la diapositiva Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba
Considere la siguiente función, dibújela siguiendo el procedimiento explicado en la diapositiva Asíntotas verticales
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Considere la siguiente función, dibújela siguiendo el procedimiento explicado en la diapositiva Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
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Considere la siguiente función, dibújela siguiendo el procedimiento explicado en la diapositiva Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
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Optimization Problems 4.4 Optimization Problems Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
Encontrar dos números x y y, tal que su suma sea 20 y su producto máximo
Maximizar el volumen de una caja, sujeto a la restricción que 2 veces la base mas la altura es igual a 64.
Maximizar el volumen de una caja, sujeto a la restricción que 2 veces la base mas la altura es igual a 64. Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
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Puntos clave para el estudio de problemas de optimización 1.Lea el problema cuidadosamente, identifique las variables clave, y organice la informacion en una figura. 2. Identifique la función objetivo (la función a ser optimizada). Escriba esta en términos de las variables del problema. 3. Identifique las restricciones. Escríbalas en términos de las variables del problema 4. Use las restricciones para eliminar todas las variables a excepción de la variable independiente. 5.Con la función objetivo expresada en términos de una sola variable, encuentre el intervalo de interés para esa variable. 6. Use métodos de calculo para encontrar el máximo y mínimo absoluto de la función objetivo en el intervalo de interés.
4.7 L’Hôpital’s Rule Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
Teorema. Regla de L’Hospital Suponga que f y g son diferenciables en el intervalo abierto I que contiene a con g’(x) diferente de 0 en I cuando x es diferente de a. Si , luego Donde el limite de la derecha puede ser finito o infinito. La regla también aplica si el limite cambia de a a infinito, a por la derecha, a por la izquierda Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
Teorema. Regla de L’Hospital (infinito sobre infinito) Suponga que f y g son diferenciables en el intervalo abierto I que contiene a, con g’(x) diferente de 0 en I cuando x es diferente de a. Si , luego Donde el limite de la derecha puede ser finito o infinito. La regla también aplica si el limite cambia de a a infinito, a por la derecha, a por la izquierda Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
Forma 0/0 Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
Forma ∞/ ∞ Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
Forma ∞-∞ Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
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Forma 0/0 Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
Procedimiento. Formas indeterminadas 1∞, 00, ∞0 Asuma tiene la forma indeterminada 1∞, 00, ∞0 Evalué . Este limite puede ser escrito usualmente en la forma 0/0 o ∞/ ∞, las cuales podemos resolver usando regla de l’Hopital’s Luego Copyright © 2011 Pearson Education, Inc. Publishing as Pearson Addison-Wesley
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