XXIII OLIMPìADA MATEMÀTICA 2012 FASE PROVINCIAL PROVA INDIVIDUAL PRIMARIA IES “ALFONSO XIII”, VALL D’ALBA, 19 DE MAIG DE 2012

Problema 1.- ELS PORTALS DEL MEU CARRER Els nombres de cinc portals consecutius d’un carrer sumen 100. Quin és el major d’ells?. En un altre carrer els nombres de quatre portals consecutius sumen 80. Quin és el menor d’ells ? Solució.- Per a la primera pregunta tenim: La mitjana aritmètica és 100:5=20 que per ser el nombre de portals senar correspon al portal del mig. Els nombres són , sumant i restant dos: 16,18, 20, 22 i 24. El major és el portal número 24 Per a la segon pregunta tenim: La mitjana aritmètica és 80:4=20 i per ser parell el nombre de portals hi ha dos portals centrals que s’obtenen sumant i restant 1 a 20. Els nombres són: 17, 19, 21 i 23. El menor és el portal número 17

Problema 2. - AMB UNA CORDA Problema 2.- AMB UNA CORDA. Amb una corda de 20 m de llarg nugada pels extrems formem primer un quadrat i després un cercle. Quina de les dues figures té major àrea ? Solució.- Si la corda de què disposem té 20 metres de llarga, el quadrat que generem té (20/4 =) 5metros de costat i té una àrea de (52 =) 25 m2 Per a la circumferència tenim: El radi de la circumferència serà I l’àrea del cercle serà tenim que té més àrea el cercle que el quadrat

Problema 3. - QUANTS SOM. Maria té un germà que s’anomena Joan Problema 3.- QUANTS SOM?. Maria té un germà que s’anomena Joan. Joan té tants germans com germanes. Maria té el doble de germans que de germanes. Quants xics i xiques hi ha a la familia? Solució.- Una situació típica per anar provant d’entre els possibles solucions, qual és la correcta. Tenim: germans germanes ¿germans de Joan = germanes de Joan? ¿germans de Maria = 2· germanes de Maria? 2 1 ¿1=1? sí ¿2 = 2·0? no 2 2 ¿1= 2? no 3 2 ¿2 = 2? sí ¿3 = 2·1? no 4 3 ¿3=3? sí ¿4 = 2·2? sí Per tant: La família està formada per 4 xics (Joan i tres més) i 3 xiques ( Maria i dues més)

Problema 4. - LES 21 AMPOLLES DE LLET Problema 4.- LES 21 AMPOLLES DE LLET. Tenim 21 ampolles de llet de 1 litre de capacitat:7 estan plenes, 3 estan plenes fins la meitat, 2 contenen un quart de litre, 6 tenen 100 ml i la resta estan buides. Sense transvasar llet d’una ampolla a una altra, com les podríem repartir entre tres persones, de tal manera que cadascuna reba la mateixa quantitat d’ampolles i de llet Solució: Si comencem per fer un recompte de la llet a repartir trobem que en total hi ha 9,6 litres a distribuir entre 3 persones, tocaran a 3,2 litres cadascú. I com que cadascú ha de tenir 7 ampolles (7·3=21) , podem anar repartint a ull les botelles amb aquestes dues exigències. Un possible repartiment és: A B C 1 de 100 ml 1 de 1 litre 1 buida 1 de ½ litre 1 de ¼ litre

Solució.- Hi ha varies maneres de fer el problema: Problema 5.- PARTIM UN QUADRAT? Considerem un quadrat de costat 1m. El dividim en tres parts de la mateixa àrea, unint el centre del quadrat amb els tres costats com indica la figura. Es formen així, dos trapezis iguals i un pentàgon. Calcula la longitud de la base major de cada trapezi Solució.- Hi ha varies maneres de fer el problema: Primera forma.- Ens fixem en el pentàgon (no regular). Aquest pentàgon és suma d’un rectangle d’altura 1m i un triangle de base 1m. Com el quadrat inicial té àrea 1, el pentàgon té àrea 1/3. Per tant ha de complir-se: Com 1/3 =1/6 + 1/6, potser identificant l’àrea del rectangle amb 1/6 aconseguim que l’àrea del triangle siga 1/6, i així tindrem un possible valor de l'àrea del rectangle i del triangle: Si l’àrea del rectangle és 1/6 (com la seua altura és 1 m) la seua base ha de ser1/6, per tant en el triangle l'altura serà 1/2 - 1/6 = 1/3, amb la qual cosa la seua àrea serà: (1·1/3)/2 = 1/6. Aleshores ja hem trobat una manera que l’àrea del pentàgon siga 1/3, que la base del rectangle siga 1/6 + Per tant la base major de qualsevol dels trapezis que es formen serà

Segona forma. - L’àrea d’un trapezi qualsevol serà 1/3 Segona forma.- L’àrea d’un trapezi qualsevol serà 1/3. Com l’àrea d’un trapezi és: “ semisuma de les bases per l’altura”, esta expressió ha de donar 1/3. Com l’altura és 1/2 la “semisuma de les bases” ha de donar el doble d’un terç és a dir: 2/3. Com la “semisuma de les bases” és la “ mitat de la suma de les bases”, ha de complir-se que la suma de les bases done el doble de 2/3, és a dir 4/3. Com la base xicoteta mesura 1/2, tindrem que la base gran més 1/2 dóna 4/3. Per tant la base gran ha de ser (4/3-1/2 =) 5/6 1/2 1/2 Tercera solució.- Considerem el triangle pintat de blau a la figura del costat Si voltegem aquest triangle pleguem al triangle de la dreta de base x i altura 0,5. La seua àrea serà la mitat de 0,5·x. Aquesta àrea mes la del quadrat verd (que és 0,5·0,5 = ) ¼ ha de donar 1/3. Per tant la mitad de 0,5·x ha de donar (1/3 – ¼ =) 1/12. Per tant 0,5·x ha de donar (el doble de 1/12 =) 1/6 . Per tant x ha de donar (el doble de 1/6 =) 1/3. Per tant, la base gran del trapezi serà: