Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas Matemática Básica (C.C.) Sesión 13.1 Ciclo

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

INTRODUCCIÓN Los salarios de las superestrellas de los deportes profesionales reciben mucha atención de los medios de comunicación. Cada año que pasa un contrato millonario se está convirtiendo en un hecho común y corriente para este grupo de élite. Aun así, son pocos los años que una de las asociaciones deportivas no negocien con los dueños de equipos nuevas condiciones salariales y beneficios marginales para todos los jugadores de un deporte en particular.

Según los dueños de equipos de básquet, el salario promedio de un jugador es de $ Los representantes de los jugadores alegan que el salario promedio está cerca de $ Ambos grupos cuentan con los mismos datos. ¿Cómo pueden llegar a conclusiones tan dispares? ¿Quién dice la verdad? Una manera de representar características de un conjunto de datos en estadística es a través de tres medidas numéricas: media, mediana y moda. Cada una de ellas representa un tipo de promedio, el cual indica la tendencia central del conjunto de datos. En esta parte del curso veremos como calcularlos y que información nos brindan.

MODA La moda es el dato que más se repite (el de más alta frecuencia). Por ejemplo: ¿cuántas veces se repite la letra “e” en la palabra “representatividad”? se repite 3 veces y te fijarás que es la que más se repite, por lo tanto se dice que la letra “e” es la moda de este conjunto de letras. Podremos determinar la moda en muestras de variables tanto cualitativas como cuantativas (datos agrupados o no). La moda es muy fácil de calcularla y útil, pro tiene sus limitaciones, a veces no encontraremos moda (cuando todos o más de dos tienen la misma frecuencia) o muestras bimodales (con dos modas). Por lo tanto veremos otras opciones.

La moda se define como el valor o clase que tiene la mayor frecuencia, en un conjunto de observaciones. Cuando los datos obtenidos solamente pueden clasificarse en categorías, se emplea la moda para describirlo. Sin embargo el empleo de la moda no está limitado al tipo de datos cualitativos o descriptivos. La moda resulta sumamente útil para expresar la tendencia central de observaciones correspondientes a características cualitativas tales como color, estado civil, ocupación, lugar de nacimiento, etc. Para datos no agrupados

Para datos agrupados Para calcular la moda de n datos tabulados por intervalos, primero se determina el intervalo que contiene a la moda, esto es, el intervalo que tiene la mayor frecuencia (intervalo modal). Luego se utiliza la fórmula: donde: L i es el límite inferior del intervalo modal. d 1 = f i - f i-1 d 2 = f i - f i+1 A= amplitud del intervalo modal

Ejemplo: La siguiente tabla muestra la inversión anual de 40 empresas. Intervalo Marca de clase m i FrecuenciasFrecuencias acumuladas fifi hihi FiFi HiHi  4, 10   10, 16   16, 22   22, 28   28, 34   34, 40   40, 46  ,025 0,075 0,150 0,300 0,275 0,125 0, ,000 Título: “Inversión anual de empresas” Unidades: miles de dólares.

El intervalo donde se encuentra la mayor frecuencia es el cuarto intervalo Entonces:L i = 22 d 1 = f i - f i-1 = 12 – 6 = 6 d 2 = f i - f i+1 = 12 – 11= 1 A = 6 de donde: M o = 22 + = 27,85 Esto significa la mayoría de las empresas invierten dólares

MEDIA La media es el promedio aritmético de los valores de la variable. Obviamente, al ser promedio, tiene sentido en variables de tipo cuantitativo

Para datos no agrupados –En ocasiones puede conducirnos a interpretaciones incorrectas. Simbólicamente la media en el caso de una muestra se representa por, y en el caso de población por . Se calcula sumando todos los datos y dividiendo dicha suma por el número de datos.

Sea x 1, x 2,....,x n los valores que toma una variable cuantitativa X, entonces la media aritmética se determina mediante:

Ejemplo: Si las notas en el curso de introducción a la computación de 10 alumnos son : 14, 18, 12, 16, 14, 15, 16, 18, 10, 12 Respuesta: La nota promedio es 14,5

La media aritmética de los valores x 1, x 2, x 3, , x k ponderada por los pesos w 1, w 2, w 3, w k es el número. Media aritmética ponderada

Ejemplo: Si un alumno el semestre pasado obtuvo 11 en Física 2 y su peso es cinco, 13 en el curso Lengua de peso cuatro y 16 en cálculo 2 de peso 3, ¿ cuál fue su promedio ?

Media aritmética para datos tabulados de variables discretas Si los n valores de una variable estadística discreta X se clasifican en k valores distintos x 1, x 2, x 3, , x k con frecuencias absolutas respectivas f 1, f 2, f 3,......, f k, entonces su media aritmética es el número:

Ejemplo: En un estudio de edades de estudiantes de Derecho se obtuvo la siguiente tabla de distribución: Edades Frecuencia Total 26 Determina la edad promedio.

Solución = 18,23 años

Media aritmética para datos tabulados de variables continuas Si los n valores de una variable estadística continua X se clasifican en k intervalos con marcas de clases m 1, m 2, m 3, , m k con frecuencias absolutas respectivas f 1, f 2, f 3,......, f k, entonces su media aritmética es el número:

Ejemplo: La siguiente tabla muestra la inversión anual de 44 empresas. Intervalo Marca de clase m i FrecuenciasFrecuencias acumuladas fifi hihi FiFi HiHi  4, 10   10, 16   16, 22   22, 28   28, 34   34, 40   40, 46  ,025 0,075 0,150 0,300 0,275 0,125 0, ,000 Título: “Inversión anual de empresas” Unidades: miles de dólares.

Solución La media aritmética es: La inversión promedio es de dólares

MEDIANA La mediana de un conjunto de observaciones se define como el valor que queda en la parte central de un grupo de observaciones arreglados en orden de magnitud.

Para datos no agrupados La mediana de un conjunto de datos es el valor que se encuentra al medio de la distribución ordenada (en forma ascendente o descendente). Cuando se tiene mediana uno sabe que es la misma cantidad de datos que se encuentra por encima de dicha mediana que por debajo.

Para datos agrupados Para calcular la mediana para datos agrupados considerando las frecuencias absolutas, en primer lugar se encuentra el intervalo donde se encuentra la mediana, este se encontrará en el primer intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada contiene a la mitad de la muestra. Luego se utiliza la fórmula:

L i =Es el límite inferior del intervalo de la mediana n = Número de datos observados F i-1 = Frecuencia acumulada absoluta del intervalo inmediatamente anterior al intervalo de la mediana f i = Frecuencia absoluta del intervalo de la mediana A = Amplitud del intervalo de la mediana

Ejemplo: La siguiente tabla muestra la inversión anual de 44 empresas. Intervalo Marca de clase m i FrecuenciasFrecuencias acumuladas fifi hihi FiFi HiHi  4, 10   10, 16   16, 22   22, 28   28, 34   34, 40   40, 46  ,025 0,075 0,150 0,300 0,275 0,125 0, ,000 Título: “Inversión anual de empresas” Unidades: miles de dólares.

El intervalo donde se encuentra n/2 es el número cuatro, luego: L i = 22; n = 40; F i-1 =10; f i =12; A= 6 Por tanto El 50% de las empresas invierten menos de dólares