Diseño de miembros de Acero a Flexión y Corte Esfuerzos de flexión Teoría del análisis plástico Método del trabajo Virtual Localización de la articulación plástica por cargas uniformes

Esfuerzos elásticos de flexión Si estudiamos el diagrama de esfuerzos internos en una viga rectangular:  c1  t1  c2  t2  adt  adc Como el acero es material homogéneo e isotrópico, los esfuerzos admisibles a tracción y compresión son iguales:  adt =  adc

Esfuerzos plásticos de flexión Si continuamos incrementando los esfuerzos hasta el esfuerzo de fluencia F y condición (1), el diagrama de esfuerzos internos ingresa en la zona plástica: En primera instancia las fibras extremas y posteriormente las fibras internas van llegando al esfuerzo de fluencia. En la condición (5) todas las fibras de la sección transversal alcanzan la fluencia en ese punto específico de la viga. FyFyFyFy FyFyFyFy(2) FyFyFyFy FyFyFyFy(3) FyFyFyFy FyFyFyFy(4) FyFyFyFy FyFyFyFy(5) (1) FyFyFyFy FyFyFyFy

articulación (rótula) plástica Cuando la distribución de esfuerzos alcanza la condición (5), se dice que se ha formado una articulación (rótula) plástica, porque en esa sección la viga no puede resistir ningún momento adicional. Cualquier momento adicional en ese punto causará una rotación de la viga ya que no hay esfuerzo interno resistente adicional. Módulo de sección: Módulo Elástico y Módulo Plástico b d Area seccional Diagramas elástico y plástico de esfuerzos FyFyFyFy FyFyFyFy FyFyFyFy FyFyFyFy

d/2 FyFyFyFy FyFyFyFy d/6 d/3 2d / 3 Como C = T : el momento resistente M y es el par que se forma entre C y T: M y = F y bd 2 6

d/2 FyFyFyFy FyFyFyFy Como C = T : el momento resistente M n es el par que se forma entre C y T: M n = F y bd 2 4 d/2

Se define el momento resistente M n como el producto del esfuerzo de fluencia por el Módulo Plástico Z. En una sección rectangular, Z = bd 2 4 Se define como factor de forma a: M n / M y = F y Z / F y S = Z/S En una sección rectangular, Z/S = 1,5 En la condición de momento resistente plástico, todas las fibras a tracción y compresión están sometidas al mismo esfuerzo F y. Como consecuencia, las áreas arriba y abajo del eje neutro deben ser iguales, independientemente de la forma del área seccional. Se define el Módulo Plástico Z como el momento estático de las áreas a tracción y compresión con respecto al eje neutro.

EJEMPLO 1.- Determine M y, M n y Z para la viga mostrada. Calcule el Factor de forma y la carga uniforme w n que formaría una rótula plástica. Fy = 36 ksi. AB Wn = klb/pie 12 pies 2´´ 1,5´´ 8´´ 6´´ Análisis elástico: A = 8 (1,5) + 6 (2) = 24 pul 2 A = 8 (1,5) + 6 (2) = 24 pul 2 [8 (1,5)](6 + 0,75) + [6 (2)](3) 24 y c = y c = y c = 4,875 pul y c = 4,875 pul c 1 = 4,875 pul c 1 = 4,875 pul c 2 = 2,625 pul c 2 = 2,625 pul I x = (2)(6) 3 / 12 + (8)(1,5) 3 / 12 + (2)(6)(4,875 – 3) 2 + (8)(1,5)(6,75 – 4,875) 2 I x = (2)(6) 3 / 12 + (8)(1,5) 3 / 12 + (2)(6)(4,875 – 3) 2 + (8)(1,5)(6,75 – 4,875) 2 I x = 122,625 pul 4 I x = 122,625 pul 4 S = S = 122,625 pul 4 122,625 pul 4 4,875 pul 4,875 pul S = 25,154 pul 3 S = 25,154 pul 3 M y = M y = ( lb / pul 2 ) (25,154)pul 3 ( lb / pul 2 ) (25,154)pul 3 M y = lb.pie M y = lb.pie

Análisis plástico: Z= (12)(0,75) + (12)(3) = 45 pul 3 Z= (12)(0,75) + (12)(3) = 45 pul 3 M n = M n = ( lb / pul 2 ) (45)pul 3 ( lb / pul 2 ) (45)pul 3 M n = lb.pie M n = lb.pie Como las áreas a tracción y compresión deben ser iguales, el eje neutro estará en la base del ala Factor de forma: 45 pul 3 25,154 pul 3 Factor de forma = 1,79 wnl2wnl2wnl2wnl28 Momento máximo de una viga simplemente apoyada = wn =wn =wn =wn = 8 ( ) (12) 2 w n = 7500 lb/pie

Análisis plástico La teoría plástica establece que después que ciertos puntos en una estructura alcanzan el esfuerzo de fluencia y generan articulaciones plásticas, estos puntos no pueden soportar momentos adicionales. Así, la fluencia permite que los momentos adicionales se transfieran a otras partes de la estructura donde los esfuerzos están por debajo de la fluencia y son capaces de soportar momentos adicionales. En otras palabras, la teoría plástica tiende a igualar los esfuerzos en una estructura en caso de sobrecarga. Esto es posible por la ductilidad del acero estructural que permite una redistribución de esfuerzos cuado se producen sobrecargas en estructuras estáticamente indeterminadas. Este es el origen de los métodos de cálculo de Estados Límites. Esto es posible por la ductilidad del acero estructural que permite una redistribución de esfuerzos cuado se producen sobrecargas en estructuras estáticamente indeterminadas. Este es el origen de los métodos de cálculo de Estados Límites. La teoría plástica supone que el límite de proporcionalidad del acero es el esfuerzo de fluencia. La teoría plástica supone que el límite de proporcionalidad del acero es el esfuerzo de fluencia.

Las articulaciones plásticas como mecanismo de falla Las articulaciones o rótulas plásticas reciben esa denominación por el hecho que si un punto de un elemento no admite momentos adicionales, funciona en la práctica como una articulación real. Así, en el elemento se crea un punto de rotación adicional sin nuevas reacciones. Por lo tanto el elemento falla. El fallo es inmediato en vigas estáticamente determinadas. En sistemas hiperestáticos la Teoría Plástica indica que hasta cierto punto las rótulas plásticas permiten una redistribución de momentos, tal como una articulación real, pero eso significa que progresivamente se va sobrecargando el resto de la estructura, generando teóricamente un mayor número de articulaciones plásticas. Sistema isostático: Falla inmediata con una rótula plástica. Sistemas hiperestáticos: Es necesario que se forme más de una rótula plástica. Este número varía de acuerdo a la estructura.

El Método del Trabajo Virtual en la Teoría Plástica El principio del Trabajo Virtual asume que si un elemento está cargado a su capacidad nominal M n y soporta un momento adicional, se produce un desplazamiento diferencial (virtual) después que se produce la carga última. Según las hipótesis básicas de este principio los desplazamientos angulares son tan pequeños que se puede hacer la aproximación: sen  = tan  = . Además el trabajo externo producido por las cargas debe ser igual al trabajo interno angular producido en las articulaciones.

w n klb/pie L = 18 pies - Por simetría, la primera rótula debe producirse en el centro del claro. - Al ser la viga hiperestática no se produce falla inmediata. - Se podría incrementar la carga hasta que se generen rótulas en los apoyos empotrados. En ese momento ocurre el desplazamiento. Caso 1: L/2    Establecer la relación entre el momento resistente nominal y la carga distribuida en el sistema mostrado mostrando el mecanismo de falla.

 U : M n (  + 2  +  ) = w n L 2 L2L2L2L24 4  M n = w n  M n = w n L2L2L2L216 w n = L2L2L2L2 16 M n Si el claro es de 18 pies: M n = 20,25 w n Según el principio de Trabajo Virtual: tan  =  =L/2  L L L L  2 Como la carga es distribuida uniforme el trabajo realizado por la carga externa total (w n L) es igual al producto de la carga por la deformación angular promedio. La deformación angular promedio es la mitad de la deformación de la articulación plástica del centro del claro.

Caso 2: L = 20 pies PnPn 10 pies Establecer la relación entre el momento resistente nominal y la carga distribuida en el sistema mostrado mostrando el mecanismo de falla. - A pesar de no haber simetría, la primera rótula se produce en el centro del claro. - Al ser la viga hiperestática no se produce falla inmediata. - Se podría incrementar la carga hasta que se genera otra rótula en el empotramiento. En ese momento ocurre el desplazamiento. L/2   

Según el principio de Trabajo Virtual: tan  =  =L/2  L L L L  2 El trabajo realizado por la carga externa total P n al desplazarse  es igual al trabajo interno realizado por los momentos plásticos en las articulaciones. En el apoyo derecho no hay trabajo virtual ya que es una articulación real y no soporta momento.  U : M n (  + 2  ) = P n L2 3  M n = P n  Mn = Mn = 6 P n L L 6 M n Pn = Pn = Si el claro es de 20 pies, M n = 3,33 P n

L = 30 pies Caso 3: Establecer la relación entre el momento resistente nominal y la carga distribuida en el sistema mostrado mostrando el mecanismo de falla. PnPn 10 pies - No hay simetría, la primera rótula se produce en el punto de aplicación de la carga. - Al ser la viga hiperestática no se produce falla inmediata. - Se podría incrementar la carga hasta que se generen rótulas en los apoyos empotrados. En ese momento ocurre el desplazamiento. L/32L/3    

Según el principio de Trabajo Virtual: tan  =  =2L/3  L  3 El trabajo realizado por la carga externa total P n al desplazarse  es igual al trabajo interno realizado por los momentos plásticos en las rótulas plásticas.  U : M n (  + 2  +  + 2  ) = P n 2L3 6  M n = P n  Mn = Mn = 9 P n L L 9 M n Pn = Pn = Si el claro es de 30 pies, M n = 3,33 P n

Caso 4: L Establecer la relación entre el momento resistente nominal y la carga distribuida en el sistema mostrado mostrando el mecanismo de falla. w n klb/pie - No hay simetría en los apoyos; la primera rótula se produce en el punto de momento máximo actuante. - Al ser la viga hiperestática no se produce falla inmediata. - Se podría incrementar la carga hasta que se genere otra rótula en el empotramiento. En ese momento ocurre el desplazamiento. Diagrama de momentos: -Mn-Mn MnMn x    x L - x

Según el principio de Trabajo Virtual: tan  =  = L - x  ( L – x)  Por trigonometría: tan  =  =x Como la carga es distribuida uniforme el trabajo realizado por la carga externa total (w n L) es igual al producto de la carga por la deformación angular promedio. La deformación angular promedio es la mitad de la deformación de la articulación plástica del centro del claro. En el apoyo derecho no hay trabajo virtual ya que es una articulación real y no soporta momento.  ( L – x) ( L – x) x  U : M n (  +  +  ) = x wnLwnL 2 M n (  )( 1 + ) = x L  ( L – x) wnLwnL 2 Despejando M n y haciendo dM/d x = 0: M n ( 3,414) = 0,586L wnLwnL 2 M n = 0,0858 w n L 2 x = (√2 – 1)L ≈ 0,414 L Así, M n está localizado a 0,414 L del apoyo derecho.

w n klb/pie 30 pies Ejemplo 2: Para la viga continua que se muestra, se ha seleccionado un perfil W 18 x 55 (Z x = 112 pul 3 ) de acero A 36. Determine el valor de w n. 24 pies Determinamos M n :M n = F y ZM n = 36 klb/pul 2 x 112 pul 3 M n = 336 klb x pie Estudiamos el mecanismo de falla analizando la viga continua con cualquier método estructural hiperestático: - El tramo derecho corresponde al Caso 1. (Viga doblemente empotrada con carga distribuida uniforme). - El tramo izquierdo corresponde al Caso 4. (Viga con carga distribuida uniforme con apoyos art-emp.).  L - xL/2       x

Introduciendo los valores numéricos en el sistema:  L - xL/2       x  14,06 ´15´  2,414    15   1,414  14,06  9,94 ´15´ w n = L2L2L2L2 16 M n Claro derecho: w n = x 336 w n = 5,973 klb/pie Claro izquierdo: w n = 0,0858 L 2 M n w n = 0,0858 (24) w n = 6,8 klb/pie La máxima carga con la que debe cargarse la viga es 5,973 klb/pie