Control Estadístico de Procesos Conceptos Estadísticos Fundamentales

Conceptos Fundamentales Hasta ahora hemos visto el caso de fenómenos o experimentos cuyo espacio muestral asociado tiene un número pequeño de elementos. Esto nos sirvió para introducir la noción de probabilidad.

Conceptos Fundamentales Pero en muchos casos es necesario trabajar con experiencias o procesos que generan un número muy grande de datos o resultados numéricos, es decir, espacios muestrales con un número infinito o muy grande de elementos.

Conceptos Fundamentales Cuando tenemos un conjunto muy grande de datos numéricos para analizar decimos que tenemos un Universo o Población de observaciones.

Conceptos Fundamentales 30 29 26 29 30 31 31 33 32 27 29 29 30 27 26 28 30 27 25 32 31 32 28 30 31 30 29 30 31 28 34 33 31 Población o Universo

Conceptos Fundamentales Cada dato numérico es un elemento de la población o universo. Una Muestra es un subconjunto pequeño de observaciones extraídas de un universo o población.

Conceptos Fundamentales Extraemos un dato de la Población 30 29 26 29 30 31 31 33 32 27 29 29 30 27 26 28 30 27 25 32 30 31 32 28 30 31 30 29 30 31 28 34 33 31 Población o Universo

Conceptos Fundamentales 30 29 26 29 30 31 31 33 32 28 27 29 29 30 29 27 26 31 28 30 27 25 32 30 31 34 32 28 30 31 30 29 30 31 28 34 Muestra de 5 datos 33 31 Población o Universo

Conceptos Fundamentales La Estadística trabaja con poblaciones de datos y con muestras extraídas de las mismas.

Conceptos Fundamentales Los conceptos de población y muestra a veces resultan ambiguos en su aplicación práctica.

Conceptos Fundamentales Por ejemplo, supongamos que en una ciudad de 5000 habitantes se realiza un censo médico en el cual se mide el peso, la altura y se relevan otros datos de todos los habitantes de la ciudad.

Conceptos Fundamentales Alguien podría referirse al universo o población censada teniendo in mente el conjunto de los habitantes de la ciudad. Pero cuando hablamos en términos estadísticos, nos referimos a poblaciones o universos de datos.

Conceptos Fundamentales Por ejemplo, el conjunto de todas las mediciones de altura (De los habitantes de la ciudad) es un conjunto de datos y por lo tanto constituye un universo o población de datos desde el punto de vista estadístico.

Conceptos Fundamentales Otro universo o población de datos son los pesos medidos (De los habitantes de la ciudad). Pero la población de habitantes, es decir, las personas que habitan la ciudad no son la población a la que nos estamos refiriendo desde el punto de vista estadístico.

Conceptos Fundamentales Supongamos que en una empresa se fabrica un lote muy grande, digamos 10 toneladas de un producto químico, y un técnico debe controlar la calidad del mismo.

Conceptos Fundamentales El técnico toma una pequeña porción, por ejemplo, 100 gramos y dirá que tomó una muestra del producto para analizar en el laboratorio.

Conceptos Fundamentales Hasta el momento, la muestra no fue analizada y por lo tanto no tenemos ningún dato numérico.

Conceptos Fundamentales Cuando el laboratorio efectúa algún ensayo en la muestra y obtiene un resultado numérico, recién ahí tenemos un dato que puede ser analizado desde el punto de vista estadístico.

Conceptos Fundamentales Vamos a suponer hipotéticamente que el técnico continúa sacando otras muestras del producto, hasta agotar el lote y cada una es ensayada en el laboratorio, el cual nos da los resultados.

Conceptos Fundamentales Como teníamos 10 ton. de producto y las muestras son aproximadamente de 100 gr., el técnico seguramente extraerá alrededor de 100000 muestras y el laboratorio nos entregará alrededor de 100000 resultados. Este conjunto de datos numéricos es nuestro universo o población de datos.

Conceptos Fundamentales Si nosotros tomamos al azar 10 de esos resultados, podemos decir que tenemos una muestra de 10 elementos de ese universo o población.

Conceptos Fundamentales No debemos confundir esta muestra (Desde el punto de vista estadístico) con la muestra de material que extrajo el técnico para ser analizada en laboratorio.

Conceptos Fundamentales Ahora bien, nuestro universo o población de datos a veces no existe en la realidad, sino que es un concepto o abstracción que utilizamos para referirnos al universo o población que hipotéticamente podría existir.

Conceptos Fundamentales Veamos el ejemplo anterior. Supongamos que el técnico toma solamente 5 muestras y las envía para analizar al laboratorio.

Conceptos Fundamentales El laboratorio nos enviará sólo 5 resultados, y nosotros diremos que tenemos una muestra de datos extraída del universo o población de datos total.

Conceptos Fundamentales Y estamos pensando en el universo o población que tendríamos si se hubieran extraído y analizado las 100000 muestras de material.

Conceptos Fundamentales Muchas veces resulta difícil imaginarse cual es el universo del cual extrajimos los datos.

Conceptos Fundamentales Supongamos que tenemos una máquina que produce piezas de plástico en serie y un técnico toma 5 piezas sucesivas y les mide la altura con un calibre. Tenemos, entonces, 5 resultados, es decir una muestra de 5 elementos.

Conceptos Fundamentales ¿Cuál es el universo al cual pertenece esa muestra de datos?.

Conceptos Fundamentales Debemos imaginar lo siguiente: Si la máquina continuara trabajando en las mismas condiciones (Es decir, a la misma velocidad, con las mismas materias primas, a la misma temperatura, manejada por el mismo operario, etc.) ...

Conceptos Fundamentales ... y a cada pieza que produce se le mide la altura tendríamos un conjunto muy grande de resultados numéricos.

Conceptos Fundamentales Ese conjunto muy grande de resultados numéricos que no existe, pero que podría obtenerse en esas condiciones es el universo o población del cual extrajimos la muestra de 5 observaciones.

Conceptos Fundamentales Veamos otro ejemplo. Supongamos que el sindicato de la industria textil desea saber cual es el sueldo promedio que gana un operario en esa industria.

Conceptos Fundamentales Entonces, encarga una encuesta a una empresa especializada, que entrevista a 20 operarios de la industria textil y averigua sus salarios.

Conceptos Fundamentales Estos datos son una muestra de 20 observaciones del universo o población formado por los salarios de todos los operarios de la industria textil del país.

Conceptos Fundamentales Aunque el encuestador no disponga de esos datos, sabemos que existen miles de operarios que ganan un salario determinado y por lo tanto podemos hablar de un universo o población cuyos elementos son los salarios de los operarios de la industria textil en el país.

Conceptos Fundamentales Además, esa población de datos es seguramente diferente de la población de salarios de los operarios de la industria textil chilena o brasileña (Usando una misma moneda de referencia).

Conceptos Fundamentales ¿Qué representa una Población de datos?

Conceptos Fundamentales El análisis estadístico de una población o universo de datos tiene como objetivo final descubrir las características y propiedades de aquello que generó los datos.

Conceptos Fundamentales Por ejemplo, se tiene una población de escolares (Población física, población humana) y se les mide la altura.

Conceptos Fundamentales El conjunto de datos de altura constituye una población o universo estadístico. El análisis de estos datos de altura (Universo estadístico) sirve para caracterizar y estudiar a la población de estudiantes (Que no es una Población estadística).

Conceptos Fundamentales Supongamos que un instituto dedicado a estudios económicos ha realizado una encuesta de ingresos en el país. El universo de datos generados por la encuesta sirve a los fines de caracterizar a la población física, a la población real del país, desde un punto de vista económico.

Conceptos Fundamentales Salarios 800 $ 1250 $ 950 $ 2150 $ 1780 $ 1340 $ 1500 $ 2100 $ ... Población real Población estadística

Conceptos Fundamentales Un ingeniero controla un proceso industrial, que genera a diario muchos lotes de un producto (Población de lotes). Para cada lote se mide una característica de calidad, obteniéndose una gran cantidad de resultados numéricos (Población de datos).

Conceptos Fundamentales Proceso Muestra Producto Medición Resultados Numéricos

Conceptos Fundamentales El ingeniero realiza esta tarea no porque esté interesado en jugar con números, sino porque a través de los datos numéricos obtenidos se puede evaluar el comportamiento del proceso, que es lo que realmente le interesa.

Conceptos Fundamentales Entonces, es importante destacar que detrás de un universo o población de datos se encuentra una población física subyacente, formada por elementos de la realidad que nos rodea, de la cual, a través de algún tipo de medición, se obtuvieron los datos numéricos.

Conceptos Fundamentales Es esa población física subyacente (Elementos de la realidad, seres humanos, lotes de material, etc.) la que deseamos estudiar y caracterizar por medio del análisis estadístico de los datos obtenidos.

Conceptos Fundamentales La población estadística está representando, entonces, una población física o natural formada por elementos de la realidad, con respecto a una característica o propiedad de esa población física.

Conceptos Fundamentales Es muy importante, al utilizar métodos estadísticos, no confundir la población física, formada por elementos de la realidad que estamos estudiando, con la población o universo de datos generados a partir de la primera.

Conceptos Fundamentales De aquí en adelante, cuando utilicemos los términos población o universo sin otro aditamento nos estaremos refiriendo a población o universo de datos numéricos (También llamados observaciones o mediciones o valores).

Conceptos Fundamentales La Distribución de Frecuencias

Conceptos Fundamentales Vimos que una Población o Universo de datos es un conjunto muy grande de números. Estos números pueden estar en un gran listado o puede ser un conjunto hipotético, es decir, podemos imaginar los números pero no los tenemos realmente.

Conceptos Fundamentales Una gran tabla de números ordenados al azar prácticamente no nos muestra información acerca de la población de datos.

Conceptos Fundamentales Suponiendo que disponemos de los datos del universo ¿Cómo podemos clasificar y ordenar los números para obtener más información acerca de ese universo de datos?

Conceptos Fundamentales Una forma sería escribir los números desde el menor hasta el mayor y colocar encima de cada uno tantas cruces como veces que figure repetido en la población:

Conceptos Fundamentales 30 29 26 29 30 31 31 33 32 27 29 29 27 26 x 28 30 27 25 32 x x 28 31 32 x x x 28 30 31 x x x 30 29 31 30 x x x x x x 30 34 x x x x x x x x 33 31 x x x x x x x x x x 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 Población o Universo

Conceptos Fundamentales ... o utilizar cuadraditos en vez de cruces:

Conceptos Fundamentales 30 29 26 29 30 31 31 33 32 27 29 29 27 26 28 30 27 25 32 28 31 32 28 30 31 30 29 31 30 30 34 33 31 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 Población o Universo

Conceptos Fundamentales El número de veces que aparece repetido cada dato es la frecuencia de dicho valor. La representación gráfica que hemos visto se denomina Distribución de Frecuencias de la población.

Conceptos Fundamentales La representación gráfica nos permite ver información que antes no aparecía tan evidente. Por ejemplo, sin hacer ningún cálculo nos damos cuenta donde está aproximadamente el promedio de la población:

Conceptos Fundamentales 30 29 26 Promedio 29 30 31 31 33 32 27 29 29 27 26 28 30 27 25 32 28 31 32 28 30 31 30 29 31 30 30 34 33 31 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 Población o Universo

Conceptos Fundamentales También nos muestra cuales son los valores máximo y mínimo de la población, es decir, el rango:

Conceptos Fundamentales 31 30 29 26 29 30 31 31 33 32 31 27 29 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 29 27 26 28 30 27 25 32 28 31 32 28 30 30 29 31 30 30 34 33 Rango

Conceptos Fundamentales En el caso anterior, los datos de la población son números enteros.

Conceptos Fundamentales Cuando los números no son enteros o cuando tenemos un número muy grande de datos, se divide el rango total en subintervalos y se cuenta el número de valores que cae dentro de cada subintervalo.

Conceptos Fundamentales Vamos a suponer, ahora, que tenemos una cierta población de N = 500 datos, por ejemplo el peso de varones adultos de 40 años.

Conceptos Fundamentales Una manera de caracterizar esta población es construir una distribución de frecuencias o gráfico de frecuencias. Para ello seguimos los pasos siguientes:

Conceptos Fundamentales 1) Tomamos nota del valor máximo y el valor mínimo de la serie de datos que estamos considerando.

Conceptos Fundamentales 2) Subdividimos el intervalo entre el máximo y el mínimo en algún número de intervalos (15 ó 20) mas pequeños iguales entre sí.

Conceptos Fundamentales 3) Contamos el número de datos que encontramos dentro de cada intervalo (Frecuencia). Por ejemplo, supongamos que en el intervalo i hay ni observaciones (S ni = N).

Conceptos Fundamentales 4) Para construir el gráfico, colocamos en el eje de abcisas (Horizontal) los intervalos y levantamos en cada intervalo un rectángulo de altura proporcional al número ni de datos dentro del mismo.

Conceptos Fundamentales Si hacemos el área del rectángulo levantado sobre el intervalo i-ésimo igual a la frecuencia relativa ni/N, el área total bajo el histograma será igual a la unidad:

Conceptos Fundamentales

Conceptos Fundamentales Obtenemos así una representación gráfica (Llamada también histograma) que nos muestra la distribución de frecuencias de la población.

Conceptos Fundamentales Esta distribución de frecuencias nos muestra las características de una población, por ejemplo, si hay resultados que son mas frecuentes que otros.

Conceptos Fundamentales Nos muestra si los valores están ubicados alrededor de un valor central, si están muy dispersos o poco dispersos. Podemos observar que fracción de todas las mediciones cae por ejemplo, entre 70 y 80 Kg. (Zona rayada en el gráfico):

Conceptos Fundamentales

Conceptos Fundamentales Si elegimos una persona del grupo y la pesamos, el resultado es un dato que pertenece a la población de datos representada en el gráfico. Decimos, entonces, que estamos extrayendo un dato de la población de datos.

Conceptos Fundamentales Pero hay distintas maneras de elegir la persona, es decir, distintas maneras de realizar la extracción del dato.

Conceptos Fundamentales Si nos paramos frente al grupo y elegimos una persona, estaremos seleccionando al más gordo, al más flaco o al más alto (y por lo tanto pesa más que otros), de acuerdo a criterios subjetivos que no podemos evitar.

Conceptos Fundamentales En cambio, si escribimos los nombres de todas las personas en una etiqueta, metemos todas las etiquetas en una caja y luego le pedimos a alguien que retire una etiqueta, la selección no estará influída por nuestra subjetividad. En este caso, decimos que la extracción es aleatoria.

Conceptos Fundamentales Juan

Conceptos Fundamentales Una extracción aleatoria es aquella en que cada miembro de la población tiene la misma posibilidad de ser elegido. Supongamos que realizamos una extracción aleatoria de la población antedicha y obtenemos el valor y.

Conceptos Fundamentales Entonces: 1) La probabilidad P(y<70) de que y sea menor que 70 Kg. es igual al área del histograma a la izquierda de 70 Kg.

Conceptos Fundamentales 2) La probabilidad P(y>70) de que y sea mayor que 70 Kg. es igual al área del histograma a la derecha de 70 Kg.

Conceptos Fundamentales 3) La probabilidad P(y>70, y<80) de que y sea mayor que 70 Kg. pero menor que 80 Kg. es igual al área del histograma entre 70 y 80 Kg.

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