Integración y diferenciación gráfica Información adaptada del libro de Sterman, 2000. y del curso de dinámica de sistemas de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín

“El éxito del paradigma de las ecuaciones diferenciales fue impresionante y muy amplio. Muchos problemas, tanto básicos como importantes, llevaron a ecuaciones que podían ser resueltas. Esto dio origen a un proceso de autoselección, en el cual las ecuaciones que no podían ser resueltas automáticamente eran de menor interés que aquellas que tenían solución.” Ian Stewart, 1989

Integración y diferenciación! Introducción ¿Dado el comportamiento de los flujos, cuál es el comportamiento de los niveles? ¿A partir de la dinámica de los niveles, es posible inferir el comportamiento de los flujos? Integración y diferenciación!

Relación entre niveles y flujos El cálculo diferencial e integral puede aproximar modelos analíticos simples, pero......... Los modeladores necesitan relacionar intuitivamente el comportamiento de flujos y niveles Matemáticamente: Los niveles integran sus flujos netos El flujo neto es la derivada de un nivel

Equilibrio estático y dinámico Un nivel está en equilibrio cuando no está cambiando Un sistema está en equilibrio si todos sus niveles permanecen sin cambio Equilibrio  La tasa neta de cambio del nivel debe ser cero Equilibrio dinámico: El flujo de entrada iguala al flujo de salida Equilibrio estático: Todos los flujos desde y hacia el nivel son cero

Cálculo sin Matemáticas El cálculo permite responder las preguntas pero...... El comportamiento de niveles y flujos debe ser caracterizado como funciones matemáticas. La relación entre niveles y flujos es directa y no requiere de matemáticas Integración Gráfica y Diferenciación Gráfica

Cálculo sin Matemáticas Integración Gráfica A partir del comportamiento de los flujos, inferir el comportamiento de los niveles. Diferenciación Gráfica A partir del comportamiento de los niveles, inferir el comportamiento de la tasa neta de flujo

Tasa Neta (unidades/tiempo) Integración Cambio en el Nivel = Área Tasa Neta (unidades/tiempo) S2 Cambio en el Nivel Nivel (unidades) S1 t1 t2

Tasa Neta (unidades/tiempo) Diferenciación R2 Tasa Neta (unidades/tiempo) R1 R2 1 Nivel (unidades) R1 1 t1 t2

Cálculo sin Matemáticas Divida el intervalo entre t1 y t2 en un número de segmentos pequeños. Cada uno debe ser tan pequeño que el flujo no cambie significativamente en el segmento. Cada segmento es un “dt” La cantidad adicionada es el flujo neto durante el intervalo (R) multiplicada por la longitud del intervalo (dt) Cantidad adicionada durante el intervalo de longitud dt = R * dt (Unidades) = (unidades/tiempo) (tiempo)

Cálculo sin Matemáticas Tasa Neta (unidades/tiempo) R1 dt S2 Nivel (unidades) S1 t1 t2 La integración gráfica es el proceso de estimar el área a partir de una gráfica de flujo neto.

Integración Gráfica Considere un nivel con un flujo de entrada y un flujo de salida Asuma que los flujos son exógenos El flujo de salida es cero El flujo de entrada es: 20 Si el nivel inicial es 100: cual es el nivel en el momento t=30 ? cuál su comportamiento? (Unidades/Segundo) Flujo Neto 10 10 20 30 Tiempo (Segundos)

Integración Gráfica 20 (Unidades/Segundo) Flujo Neto 10 10 20 30 10 20 30 Tiempo (Segundos) 400 300 (Unidades) Nivel 200 100 10 20 30 Tiempo (Segundos)

Integración Gráfica - Ejemplo Rezago Flujo Entrada Flujo Salida Flujo Neto Que pasa si el nivel inicial es 500? Hecho en Excel con paso de 0.05 Observe que no da exacto!!!

Integración Gráfica - Reto Flujo Entrada Flujo Salida Que pasa en ambos casos si el nivel inicial es 100? Flujo Entrada Flujo Salida

Diferenciación Gráfica Consiste en calcular la tasa neta de cambio de un nivel a partir de su trayectoria Puede hacerse analíticamente pero.... En modelos dinámicos rara vez hay funciones analíticas! Diferenciación Gráfica

Diferenciación Gráfica Simplemente hay que estimar la pendiente del nivel en cualquier punto del tiempo!! Parecido a obtener la f.d.p de la f.d.a. Suponga que se tiene el siguiente nivel

Diferenciación Gráfica 5 semanas 1000 unidades Pendiente = 200 Pendiente = -200 Pendiente = 0 Pendiente = -100

Diferenciación Gráfica Solo puede hallarse la tasa de cambio neta Si existen múltiples flujos de entrada y salida no es posible determinar su valor individual.