Unidad 2 Capítulo V Ecuaciones exactas

cuya derivada con respecto a x es: U-2. Cap. V. Ecuaciones Exactas Una ecuación diferencial de primer orden también puede expresarse en la forma: Una solución general de esta ecuación debe ser una función implícita de x y y, misma que puede expresarse en la forma: cuya derivada con respecto a x es:

U-2. Cap. V. Ecuaciones Exactas La integración directa de esta última ecuación diferencial, debe ser la función y (x, y) y, por esta razón, se le llama una ecuación diferencial exacta. Una ecuación diferencial de primer orden que puede expresarse en la forma se denomina exacta en una región D si existe una función y (x, y) tal que

y sus segundas derivadas parciales cruzadas son iguales, es decir: U-2. Cap. V. Ecuaciones Exactas y sus segundas derivadas parciales cruzadas son iguales, es decir: lo que es equivalente a: Entonces, una ecuación diferencial exacta tendrá por solución a la función y (x, y) = C siempre y cuando se cumpla el criterio: My = Nx.

Ejemplo: Demuestre que la ecuación diferencial: U-2. Cap. V. Ecuaciones Exactas Ejemplo: Demuestre que la ecuación diferencial: es exacta y resuélvala. Solución: Al comparar la ecuación con la forma general de una ecuación exacta se observa que: Así, las derivadas parciales cumplen el criterio My = Nx, luego la ecuación es exacta.

Al comparar ambos resultados, la solución general es: U-2. Cap. V. Ecuaciones Exactas Dado que la ecuación es exacta, su solución se obtiene a partir de la integración iterada de las funciones M y N, en la forma siguiente: Al comparar ambos resultados, la solución general es:

Ejemplo: Demuestre que la ecuación diferencial: U-2. Cap. V. Ecuaciones Exactas Ejemplo: Demuestre que la ecuación diferencial: es exacta y resuélvala. Solución: De la ecuación se observa que: Así, las derivadas parciales son iguales, por lo que la ecuación es exacta y su solución es la función implícita:

De la integración iterada de ambas funciones se obtiene: U-2. Cap. V. Ecuaciones Exactas De la integración iterada de ambas funciones se obtiene: Al comparar ambos resultados, se observa que: Por lo que la solución general es: