PUNTO MEDIO PENDIENTE DE DE UNA RECTA UN SEGMENTO ÁNGULOS DE CARLOS GARCIA SEÑA. LIC. MATEMÁTICAS I. E. LUIS PATRON ROSANO (TOLU-COLOMBIA) /2004 Carlos_garcia_sena@hotmail.com INTRODUCCION A LA GEOMETRIA ANALITICA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEFINICIÓN PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO PENDIENTE DE UNA RECTA ÁREA DE UN POLIGONO EN FUNCIÓN DE LAS COORDENADAS DE SUS VÉRTICES ÁNGULOS DE DOS RECTAS ACTIVIDADES

GEOMETRIA ANALITICA Rama de la geometría en la que las líneas rectas, las curvas y las figuras geométricas se representan mediante expresiones algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes y coordenadas. Cualquier punto del plano se puede localizar con respecto a un par de ejes perpendiculares dando las distancias del punto a cada uno de los ejes. En la , el punto A está a 1 unidad del eje vertical (y) y a 4 unidades del horizontal (x). Las coordenadas del punto A son por tanto 1 y 4, y el punto queda fijado dando las expresiones x = 1, y = 4. Los valores positivos de x están situados a la derecha del eje y, y los negativos a la izquierda; los valores positivos de y están por encima del eje x y los negativos por debajo. Así, el punto B de la figura 1 tiene por coordenadas x = 5, y = 0. En un espacio tridimensional, los puntos se pueden localizar de manera similar utilizando tres ejes, el tercero de los cuales, normalmente llamado z, es perpendicular a los otros dos en el punto de intersección, también llamado origen. carlos_garcia_sena@hotmail.com FIGURA 1 SIGUE

  En general, una línea recta se puede representar siempre utilizando una ecuación lineal en dos variables, x e y, de la forma ax + by + c = 0. De la misma manera, se pueden encontrar fórmulas para la circunferencia, la elipse y otras cónicas y curvas regulares. La geometría analítica se ocupa de dos tipos clásicos de problemas. El primero es: dada la descripción geométrica de un conjunto de puntos, encontrar la ecuación algebraica que cumplen dichos puntos. Siguiendo con el ejemplo anterior, todos los puntos que pertenecen a la línea recta que pasa por A y B cumplen la ecuación lineal x + y = 5; en general, ax + by = c. El segundo tipo de problema es: dada una expresión algebraica, describir en términos geométricos el lugar geométrico de los puntos que cumplen dicha expresión. Por ejemplo, una circunferencia de radio 3 y con su centro en el origen es el lugar geométrico de los puntos que satisfacen x2 + y2 = 9. SIGUE

Usando ecuaciones como éstas, es posible resolver algebraicamente esos problemas geométricos de construcción, como la bisección de un ángulo o de una recta dados, encontrar la perpendicular a una recta que pasa por cierto punto, o dibujar una circunferencia que pasa por tres puntos dados que no estén en línea recta. La geometría analítica ha tenido gran importancia en el desarrollo de las matemáticas pues ha unificado los conceptos de análisis (relaciones numéricas) y geometría (relaciones espaciales). El estudio de la geometría no euclídea y de las geometrías de espacios con más de tres dimensiones no habría sido posible sin un tratamiento analítico. Del mismo modo, las técnicas de la geometría analítica, que hacen posible la representación de números y expresiones algebraicas en términos geométricos, han ayudado al cálculo, la teoría de funciones y otros problemas de las matemáticas avanzadas. carlos_garcia_sena@hotmail.com INDICE

La ecuación de una recta está dada por: y= mx + b DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS (x1 , y1) (x2 , y2) Sean A = (x1 , y1) y B = (x2 , y2) dos puntos cualquiera del plano. La distancia entre los puntos dados se define así d =   RECUERDA. La ecuación de una recta está dada por: y= mx + b EJEMPLO INDICE

Si dos rectas son paralelas, sus pendientes son iguales. PENDIENTE DE UNA RECTA Pendiente, medida de la inclinación de una recta dada en un sistema de ejes cartesianos. La pendiente de una recta es el aumento de la ordenada, y, cuando la abscisa, x, aumenta una unidad. La pendiente de una recta es la tangente del ángulo de inclinación. Si , son dos puntos de la recta, la pendiente se obtiene del siguiente modo: Si dos rectas son paralelas, sus pendientes son iguales. Si dos rectas son perpendiculares el producto de sus pendientes es igual a -1 INDICE EJEMPLO

VOLVER

ÁNGULO DE DOS RECTAS INDICE EJEMPLO El ángulo , medido en el sentido contrario al de las agujas del reloj, desde la recta L1 de pendiente m1 a la recta L2 de pendiente m2 es :    L1 L2 INDICE EJEMPLO

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Si se tiene un segmento de extremos P1 = (x1 , y1) y P2 = (x2 , y2), y un punto P0 = (x0, y0) que divide al segmento En dos segmentos iguales, tiene por coordenadas Es el punto medio de P1 (x1 , y1) P0 (x0, y0) P2 (x2 , y2), INDICE

ÁREA DE UN POLIGONO EN FUNCIÓN DE LAS COORDENADAS DE SUS VÉRTICES (x1 , y1) P2 (x2 , y2), P3 (x3 , y3) M1 M3 M2 Sean P1 (x1, y1), P2 (x2 , y2) y P3 (x3 , y3) los vértices de un triángulo. El área A en función de las coordenadas de los vértices viene dada por: INDICE

3. Sabiendo que el ángulo formado por las rectas L1 y L2 es de 45°, EJEMPLOS 1. Vamos a hallar la distancia entre los puntos P(3,-1) y Q(-1,2) dist[(3,-1),(-1,2)]=                             VOLVER 2. Si una recta pasa por los puntos (0,4) y (5,7) su pendiente es m = (7 – 4) / (5 – 0) = 3/5 Por tanto, su ecuación será: y = (3/5)x + 4 VOLVER 3. Sabiendo que el ángulo formado por las rectas L1 y L2 es de 45°, y que la pendiente m1 de L1 es 2/3, hallar la pendiente m2 de L2. Solución: la fórmula a utilizar es: reemplazando Despejando m2=5 VOLVER

ACTIVIDADES  1.entre los puntos descritos de la recta, calcula su distancia, calcula pendiente de la recta , y el punto medio entre los puntos.    2. ubica los puntos ( -3, 8) y (5, -4) en el plano coordenado, traza la recta correspondiente, encuentra la pendiente, la distancia entre ellos y el punto medio. SIGUE

ANALICEMOS LA SIGUIENTE SITUACIÓN Y RESPONDE LA PREGUNTAS 1, 2, 3 y 4 carlos_garcia_sena@hotmail.com Una nave extraterrestre quiere invadir la tierra y desde luego ataca tirando bombas; los países del mundo se unen y lanzan cohetes para contrarrestar el ataque. El siguiente dibujo muestra la toma que tiene el radar de la NASA en un momento dado. Las son las bombas y son los cohetes. NAVE EXTRATERRESTRE TIERRA B1 B3 B2 B5 B4 C1 C3 C2 C4 SIGUE

1. La distancia entre la bomba B2 y el cohete C3 la puedo encontrar, utilizando: la fórmula de distancia entre dos puntos la ley de los senos la ley de los signos el teorema de Pitágoras  carlos_garcia_sena@hotmail.com 2. si se unen los puntos correspondientes a B3, B5 y C3 se obtiene: un triangulo escaleno cuyo lado mayor mide 3 unidades. Un triangulo rectángulo de área 10 u2 Un triangulo isósceles Un triángulo rectángulo de hipotenusa igual a unidades   3. si se traza una línea desde el origen del plano al punto B2 se puede asegurar que: se forma un ángulo agudo se forma un ángulo recto se forma un ángulo obtuso de acuerdo a la orientación se tiene un ángulo positivo del segundo cuadrante o un ángulo negativo. SIGUE

B3 está más lejos de B5 respecto al origen 4.una de las siguientes afirmaciones es falsa. B3 está más lejos de B5 respecto al origen B.si se unen los puntos correspondientes a B3, B5 y C3 se obtiene un triangulo que no es rectángulo. C. B4 tiene por coordenadas (4,5) D. B1 está ubicado en el segundo cuadrante. 5. Demostrar que los puntos A(3,8), B(-11,3), C(-8,-2) son los vertices de un triangulo isosceles. 6. Hallar el área del triangulo descrito anteriormente 7. Establecer si el par de rectas es paralela o perpendiculares a) l1 que pasa por los puntos (-2,3) y (3,5) y l2 pasa por (2,-1) y (-4,14) b) l1 que pasa por los puntos (1,5) y (-2,1) y l2 pasa por (10,7) y (7,3) carlos_garcia_sena@hotmail.com INDICE FIN