FORMULA GENERAL

DEDUCCION DE LA FORMULA GENERAL APLICAMOS EL PROCEDIMIENTO DE COMPLETAR UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO ax2 + bx + c = Dividir entre “a” y transponer x2 + b x a = - c a x2 + b x a + b2 4a2 = - c a + b2 4a2 Completar el cuadrado b/a : 2 = b/2a , (b/2a)2 = b2/4a2 ( x + b )2 2a b2 – 4ac 4a2 Factorizar y reducir = x + b 2a b2 - 4ac 2a = ± Extraer raíz cuadrada Buscamos raíces de la ecuación Reducimos a un denominador común x = - b 2a ± b2 - 4ac 2a x - b ± b2 - 4ac = 2a

UNA ECUACION DE SEGUNDO GRADO TIENE DOS RAICES FORMULA GENERAL ± - b b2 - 4ac x = 2a UNA ECUACION DE SEGUNDO GRADO TIENE DOS RAICES + - - b b2 - 4ac - b b2 - 4ac x1 = x2 = 2a 2a b2 - 4ac DISCRIMINANTE

DISCRIMINANTE b2 - 4ac > 0 b2 - 4ac = 0 b2 - 4ac < 0 Raíces reales y desiguales Por ejemplo: 3x2 + 5x - 2 = 0 a = 3 , b = 5 y c = - 2 ( 5 )2 - 4 ( 3 ) ( - 2 ) = 25 + 24 = 49 x1 = 1/3 , x2 = - 2 b2 - 4ac = 0 Raíces reales e iguales Por ejemplo: 36x2 + 12x + 1 = 0 a = 36 , b = 12 y c = 1 ( 12 )2 - 4 ( 36 ) ( 1 ) = 144 - 144 = 0 x1 = - 1/6 , x2 = - 1/6 b2 - 4ac < 0 Raíces imaginarias y desiguales Por ejemplo: x2 - 4x + 8 = 0 a = 1 , b = - 4 y c = 8 ( - 4 )2 - 4 ( 1 ) ( 8 ) = 16 - 32 = - 16 x1 = 2 + 2i , x2 = 2 – 2i

REALIZANDO OPERACIONES FORMULA GENERAL EJEMPLO 1 x2 + 9x + 14 = 0 a = 1 b = 9 c = 14 ± - b b2 - 4ac x SUSTITUYENDO VALORES = 2a ± - ( 9 ) ( 9 )2 - 4( 1 ) ( 14 ) x REALIZANDO OPERACIONES = 2( 1 ) ± - 9 81 - 56 x = BUSCANDO RAICES 2 ± + - 9 25 - 9 5 x - 2 = x1 = = 2 2 ± - - 9 5 x - 9 5 = x2 - 7 = = 2 2

REALIZANDO OPERACIONES FORMULA GENERAL EJEMPLO 2 x2 - 7x - 44 = 0 a = 1 b = -7 c = - 44 ± - b b2 - 4ac x SUSTITUYENDO VALORES = 2a ± - (-7 ) ( -7 )2 - 4( 1 )(- 44 ) x REALIZANDO OPERACIONES = 2( 1 ) ± + 7 49 + 176 x = BUSCANDO RAICES 2 ± + + 7 225 + 7 15 x 11 = x1 = = 2 2 ± - + 7 15 x + 7 15 = x2 - 4 = = 2 2

REALIZANDO OPERACIONES FORMULA GENERAL EJEMPLO 3 2x2 - 7x - 15 = 0 a = 2 b = -7 c = - 15 ± - b b2 - 4ac x SUSTITUYENDO VALORES = 2a ± - (-7 ) ( -7 )2 - 4( 2 )(- 15 ) x REALIZANDO OPERACIONES = 2( 2 ) ± + 7 49 + 120 x = BUSCANDO RAICES 4 ± + + 7 169 + 7 13 x 5 = x1 = = 4 4 ± - + 7 13 x + 7 13 3 2 = x2 = = 4 4

REALIZANDO OPERACIONES FORMULA GENERAL EJEMPLO 4 5x2 - 14x - 3 = 0 a = 5 b = -14 c = - 3 ± - b b2 - 4ac x SUSTITUYENDO VALORES = 2a ± - (-14 ) ( -14 )2 - 4( 5 )(- 3 ) x REALIZANDO OPERACIONES = 2( 5 ) ± + 14 196 + 60 x = BUSCANDO RAICES 10 ± + + 14 256 + 14 16 x 3 = x1 = = 10 10 ± - + 14 16 x + 14 16 1 5 = x2 = = 4 10

REALIZANDO OPERACIONES FORMULA GENERAL EJEMPLO 5 6x2 - 20x + 6 = 0 a = 6 b = -20 c = 6 ± - b b2 - 4ac x SUSTITUYENDO VALORES = 2a ± - (-20 ) ( -20 )2 - 4( 6 )( 6 ) x REALIZANDO OPERACIONES = 2( 6 ) ± + 20 400 - 144 x = BUSCANDO RAICES 12 ± + + 20 256 + 20 16 x = x1 = = 3 12 12 ± - + 20 16 + 20 16 x 1 3 = x2 = = 12 12

REALIZANDO OPERACIONES FORMULA GENERAL EJEMPLO 6 x2 - 4x + 8 = 0 a = 1 b = - 4 c = 8 ± - b b2 - 4ac x SUSTITUYENDO VALORES = 2a ± - (- 4 ) ( - 4 )2 - 4( 1 )( 8 ) x REALIZANDO OPERACIONES = 2( 1 ) ± + 4 16 - 32 x = BUSCANDO RAICES 2 ± + + 4 - 16 + 4 4 i x = x1 = = 2 + 2 i 2 2 ± - + 4 4 i + 4 4 i x = 2 – 2 i x2 = = 2 2

Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . REALIZANDO OPERACIONES Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse 4x2 + 2x - 6 = 0 COEFICIENTES a = 4 b = + 2 c = - 6 ± x - b = b2 - 4ac 2a SUSTITUYENDO VALORES ± x - ( 2 ) = ( 2 )2 - 4( 4 )( - 6 ) 2( 4 ) REALIZANDO OPERACIONES x - 2 ± = 4 + 96 8 BUSCANDO RAICES x - 2 ± = 100 8 x1 - 2 + = 10 8 1 x - 2 ± = 10 8 x2 - 2 - = 10 - 3 2 8

Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . REALIZANDO OPERACIONES Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse 2x2 + x - 105 = 0 COEFICIENTES a = 2 b = + 1 c = -105 ± x - b = b2 - 4ac 2a SUSTITUYENDO VALORES ± x - ( 1 ) = ( 1 )2 - 4( 2 )( - 105 ) 2( 2 ) REALIZANDO OPERACIONES x - 1 ± = 1 + 840 4 BUSCANDO RAICES x - 1 ± = 841 4 x1 - 1 + = 29 4 7 x - 1 ± = 29 4 x2 - 1 - = 29 - 15 2 4

Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . REALIZANDO OPERACIONES Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse 8x2 - 2x - 3 = 0 COEFICIENTES a = 8 b = - 2 c = - 3 ± x - b = b2 - 4ac 2a SUSTITUYENDO VALORES ± x - (- 2 ) = ( - 2 )2 - 4( 8 )( - 3 ) 2( 8 ) REALIZANDO OPERACIONES x + 2 ± = 4 + 96 16 BUSCANDO RAICES x + 2 ± = 100 16 x1 + 2 + = 10 16 3 4 x + 2 ± = 10 16 x2 + 2 - = 10 - 1 2 16

planteO la resolución de diversas ecuaciones de la forma x³+ px = q MENU NICCOLO FONTANA (1499 – 1557 ) planteO la resolución de diversas ecuaciones de la forma x³+ px = q

PROCEDIMIENTO GRAFICO

GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA y = x2 - 1 Y x y Puntos - 3 8 A ( -3 , 8 ) * - 1 B ( -1 , 0 ) E Ceros de función 1 C ( 0 , -1 ) A 1 D ( 1 , 0 ) * 3 8 E ( 3 , 8 ) Eje Real B D X’ X Asignamos valores a x Buscamos valores de y C X1 = - 1 X2 = 1 y = ( - 3 ) 2 - 1 = 9 - 1 = 8 y = ( - 1 )2 - 1 = 1 - 1 = 0 Parábola Secante y = ( 0 )2 - 1 = - 1 y = ( 1 )2 - 1 = 1 - 1 = 0 Escala 1: 2 Vertical Y’ y = ( 3 )2 - 1 = 9 - 1 = 8

GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA y = x2 - x - 6 Y x y Puntos A - 3 6 A ( -3 , 6 ) * - 2 B ( -2 , 0 ) - 6 C ( 0 , - 6 ) Ceros de función 2 - 4 D ( 2 ,- 4 ) * 3 E ( 3 , 0 ) Eje Real E B X’ X Asignamos valores a x Buscamos valores de y X1 = - 2 X2 = 3 y = ( - 3 ) 2 - ( -3 ) - 6 = 9 + 3 - 6 = 6 y = ( - 2 )2 - ( -2 ) - 6 = 4 + 2 - 6 = 0 D y = ( 0 )2 - ( 0 ) - 6 = - 6 Parábola Secante y = ( 2 )2 - ( 2 ) - 6 = 4 - 2 - 6 = - 4 C Y’ y = ( 3 )2 - ( 3 ) - 6 = 9 - 3 - 6 = 0

GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA y = x2 - 4 Y x y Puntos - 3 5 A ( -3 , 5 ) A E * - 2 B ( -2 , 0 ) Ceros de función - 4 C ( 0 , - 4 ) 2 D ( 2 , 0 ) * 3 5 E ( 3 , 5 ) Eje Real B D X’ X Asignamos valores a x Buscamos valores de y X1 = - 2 X2 = 2 y = ( - 3 ) 2 - 4 = 9 - 4 = 5 y = ( - 2 )2 - 4 = 4 - 4 = 0 Parábola Secante y = ( 0 )2 - 4 = - 4 C y = ( 2 )2 - 4 = 4 - 4 = 0 Y’ y = ( 3 )2 - 4 = 9 - 4 = 5

GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA y = x2 - 3X Y x y Puntos A - 3 18 A ( -3 , 18 ) - 2 10 B ( -2 , 10 ) C ( 0 , 0 ) * B Ceros de función 2 - 2 D ( 2 , - 2 ) * 3 E ( 3 , 0 ) E Eje Real C X’ X Asignamos valores a x Buscamos valores de y D X1 = 0 X2 = 3 y = ( - 3 ) 2 - 3 ( - 3 ) = 9 + 9 = 18 y = ( - 2 )2 - 3 ( - 2 ) = 4 + 6 = 10 Parábola Secante y = ( 0 )2 - 3 ( 0 ) = 0 y = ( 2 )2 - 3 ( 2 ) = 4 – 6 = - 2 Escala 1: 3 Vertical Y’ y = ( 3 )2 - 3 ( 3 ) = 9 – 9 = 0

GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA y = x2 + x - 20 Y x y Puntos - 5 A ( -5 , 0 ) * - 2 - 18 B ( -2,-18 ) Ceros de función - 20 C ( 0 ,-20 ) X1 = - 5 E * 4 D ( 4 , 0 ) 5 10 E ( 5 , 10 ) Eje Real A X’ X Asignamos valores a x D Buscamos valores de y y = ( - 5 ) 2 + ( -5 ) - 20 = 25 - 5 - 20 = 0 X2 = 4 y = ( - 2 )2 + ( -2 ) - 20 = 4 - 2 - 20 = - 18 y = ( 0 )2 + ( 0 ) - 20 = - 20 B Parábola Secante y = ( 4 )2 + ( 4 ) - 20 = 16 + 4 - 20 = 0 C Y’ Escala 1: 4 Vertical y = ( 5 )2 + ( 5 ) - 20 = 25 + 5 - 20 = 10

GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA y = x2 - 10x + 25 Y x y Puntos Cero de función Múltiple - 5 100 A( -5 ,100 ) - 2 49 B ( -2, 49 ) A 25 C( 0 , 25 ) X1 = 5 X2 = 5 2 9 D( 4 , 9 ) B * 5 E( 5 , 0 ) C X’ X Asignamos valores a x D Eje Real E Buscamos valores de y y = ( - 5 ) 2 - 10( -5 ) + 25 = 25 + 50 + 25 = 100 y = ( - 2 )2 - 10( -2 ) + 25 = 4 + 20 + 25 = 49 Parábola Tangente y = ( 0 )2 - 10( 0 ) + 25 = 25 y = ( 2 )2 - 10( 2 ) + 25 = 4 - 20 + 25 = 9 Escala 1: 25 Vertical Y’ y = ( 5 )2 - 10( 5 ) + 25 = 25 - 50 + 25 = 0

GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA y = x2 + 8x + 16 Y x y Puntos Cero de función Múltiple - 8 16 A( -8 , 16 ) E X1 = - 4 - 4 B ( -2, 0 ) 16 C( 0 , 16 ) X2 = - 4 2 36 D( 4 , 36 ) D * A 4 81 E( 5 , 81 ) C X’ X Asignamos valores a x B Eje Real Buscamos valores de y y = ( - 8 ) 2 + 8( -8 ) + 16 = 64 - 64 + 16 = 16 Parábola Tangente y = ( - 4 )2 + 8( -4 ) + 16 = 16 - 32 + 16 = 0 y = ( 0 )2 + 8( 0 ) + 16 = 16 Escala 1: 2 Horizontal Escala 1:16 Vertical y = ( 2 )2 + 8( 2 ) + 16 = 4 + 16 + 16 = 36 Y’ y = ( 5 )2 + 8( 5 ) + 16 = 25 + 40 + 16 = 81

GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA y = x2 - 2x + 3 Y x y Puntos A Raíces imaginarias - 3 18 A( -3 , 18 ) - 2 11 B ( -2, 11 ) 3 C( 0 , 3 ) B 2 3 D( 2 , 3 ) E 3 6 E( 3 , 6 ) C Eje Real D X’ X Asignamos valores a x Buscamos valores de y y = ( - 3 ) 2 - 2( -3 ) + 3 = 9 + 6 + 3 = 18 Parábola y = ( - 2 )2 - 2( -2 ) + 3 = 4 + 4 + 3 = 11 y = ( 0 )2 - 2( 0 ) + 3 = 3 Escala 1:3 Vertical y = ( 2 )2 - 2( 2 ) + 3 = 4 - 4 + 3 = 3 Y’ y = ( 3 )2 - 2( 3 ) + 3 = 9 - 6 + 3 = 6

* * GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA y = x2 - 3x Y x y Puntos Parábola Secante - 4 28 A ( -4 , 28 ) A - 3 18 B ( -3 , 18 ) X2 = 3 * C ( 0 , 0 ) * 3 D ( 2 , 0 ) B E 4 4 E ( 4 , 4 ) X’ X Asignamos valores a x D C Buscamos valores de y X1 = 0 y = (- 4 )2 – 3(-4) = 16 + 12 = 28 Grafica la función en tu cuaderno y = (-3 )2 - 3(-3) = 9 + 9 = 18 y = ( 0 )2 - 3( 0 ) = 0 Para comprobar resultados da un click en el botón izquierdo del mouse y = ( 3 )2 - 3( 3 ) = 9 - 9 = 0 Escala 1: 6 Vertical Y’ y = ( 4 )2 - 3( 4 ) = 16 - 12 = 4

Creó la Geometría Analítica MENU RENE DESCARTE ( 1596 – 1650) Creó la Geometría Analítica introdujo un sistema de coordenadas, llamadas Cartesianas.

RESOLUCION DE PROBLEMAS

RESOLUCION DE PROBLEMAS LECTURA CUIDADOSA HASTA ENTENDER LA SITUACION QUE SE PLANTEA IDENTIFICAR CANTIDADES CONOCIDAS DESCONOCIDAS OTRAS EN FUNCION DE ESTA LETRA UNA SE REPRESENTA POR “x” IDENTIFICAR IGUALDADES (CONSTRUIR LA ECUACION) ENCONTRAR LA SOLUCION

EJEMPLO 1 El producto de dos números es 91. ¿Cuáles son esos números, si sabemos que el mayor excede en 6 unidades al menor ? . Número menor : x x ( x + 6 ) = 91 Verificando operaciones Número mayor : x + 6 x2 + 6x = 91 Transponer e igualar a cero x2 + 6x – 91 = 0 Resolvemos la ecuación x2 + 6x - 91 = 0 Número menor : 7 ( x + 13 ) ( x - 7 ) = 0 Número mayor : 7 + 6 13 ( x + 13 ) = 0 x = - 13 ( x - 7 ) = 0 Los números son 7 y 13 * x = 7

EJEMPLO 2 El producto de dos números consecutivos pares es 48. Encontrar esos números. Primer número : x x ( x + 2 ) = 48 Verificando operaciones Segundo número : x + 2 x2 + 2x = 48 Transponer e igualar a cero x2 + 2x - 48 = 0 Resolvemos la ecuación x2 + 2x - 48 = 0 Primer número : 6 ( x + 8 ) ( x - 6 ) = 0 Segundo número : 6 + 2 8 ( x + 8 ) = 0 x = - 8 ( x - 6 ) = 0 Los números son 6 y 8 * x = 6

EJEMPLO 3 La suma de los cuadrados de las edades de Margarita y Josefina es 100 años. Si Margarita es dos años mayor, ¿ cuáles son sus edades ? Josefina : x x2 + ( x + 2 )2 = 100 Verificando operaciones Margarita : x + 2 x2 + x2 + 4x + 4 = 100 Transponer e igualar a cero 2x2 + 4x + 4 = 100 Simplificando 2x2 + 4x - 96 = 0 x2 + 2x - 48 = 0 Resolvemos la ecuación x2 + 2x - 48 = 0 ( x + 8 ) ( x - 6 ) = 0 Josefina : 6 años ( x + 8 ) = 0 Margarita : 6 + 2 8 años x = - 8 ( x - 6 ) = 0 Margarita tiene 8 años y Josefina tiene 6 años * x = 6

EJEMPLO 4 El área de un rectángulo es 36 m2, su base excede a la altura en 5 m. Encontrar las dimensiones del rectángulo. Base : x + 5 x ( x + 5 ) = 36 Verificando operaciones Altura : x x2 + 5x = 36 Transponer e igualar a cero x2 + 5x - 36 = 0 Resolvemos la ecuación x2 + 5x - 36 = 0 ( x + 9 ) ( x - 4 ) = 0 Base: 4 + 5 9 metros ( x + 9 ) = 0 Altura : 4 metros x = - 9 ( x - 4 ) = 0 Dimensiones : 9 m de base y 4 m de altura * x = 4

EJEMPLO 5 La diferencia entre dos números es 2 y su producto 288. Encontrar los números. Número menor : x x ( x + 2 ) = 288 Verificando operaciones Número mayor : x + 2 x2 + 2x = 288 Transponer e igualar a cero x2 + 2x - 288 = 0 Resolvemos la ecuación x2 + 2x - 288 = 0 ( x + 18 ) ( x - 16 ) = 0 Número menor: 16 ( x + 18 ) = 0 Número mayor : 16 + 2 18 x = - 18 ( x - 16 ) = 0 16 y 18 son los números buscados * x = 16

EJEMPLO 6 El área de un triángulo rectángulo mide 84 m2. Encontrar las dimensiones de los catetos sabiendo que difieren entre sí 17 m . A = bh 2 x ( x + 17 ) = 84 2 Verificando operaciones x 84 m2 x2 + 17x = 168 Transponer e igualar a cero x + 17 x2 + 17x - 168 = 0 Resolvemos la ecuación x2 + 17x - 168 = 0 ( x + 24 ) ( x - 7 ) = 0 Altura: 7 m ( x + 24 ) = 0 Base : 7 + 17 24 m x = - 24 ( x - 7 ) = 0 Los catetos miden 7 m y 24 m * x = 7

EJEMPLO 7 Un número es el doble más uno con respecto a otro. La diferencia de sus cuadrados es 97. Encontrar esos números. Número menor : x (2 x + 1 )2 - x2 = 96 Verificando operaciones Número mayor : 2x+1 4x2 + 4x + 1 - x2 = 96 Transponer e igualar a cero 3x2 + 4x - 95 = 0 Resolvemos la ecuación 3x2 + 4x - 95 = 0 Número menor : 5 (3x2 + 19x) - ( 15x + 95) = 0 Número mayor : 10 + 1 11 x ( x + 19 ) - 5 (x + 19 ) = 0 ( x - 5 ) = 0 * x = 5 Los números son 5 y 11 ( x + 19 ) = 0 x = - 19

* La suma de dos números es 22 y su producto equivale a 117 . EJEMPLO 8 La suma de dos números es 22 y su producto equivale a 117 . Primer numero : x x ( 22 - x ) = 117 Verificando operaciones Segundo número : 22 - x - x2 + 22x = 117 Transponer e igualar a cero - x2 + 22x - 117 = 0 Multiplicando por - 1 x2 - 22x + 117 = 0 Resolvemos la ecuación x2 - 22x + 117 = 0 Primer número: 9 ( x - 13 ) (x - 9 ) = 0 Segundo número : 22 - 9 13 ( x - 13 ) = 0 x = 13 Los números son 9 y 13 ( x - 9 ) = 0 x = 9 *

Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse La diferencia de dos números es 2 y su suma multiplicada por el mayor equivale a 40. Encontrar esos números. Primer menor : x ( 2x + 2 ) ( x + 2 ) = 40 Verificando operaciones Segundo número : x + 2 2x2 + 6x + 4 = 40 Transponer e igualar a cero Suma 2x + 2 2x2 + 6x - 36 = 0 Simplificando x2 + 3x - 18 = 0 Resolvemos la ecuación x2 + 3x - 18 = 0 Primer número: 3 ( x + 6 ) (x - 3 ) = 0 Segundo número : 3 + 2 5 ( x + 6 ) = 0 x = - 6 Los números son 3 y 5 ( x - 3 ) = 0 x = 3 *

Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse El producto de dos números enteros positivos es 143, si sabemos que el mayor excede en 2 unidades al menor, ¿cuáles son los números?. Número menor : x x ( x + 2 ) = 143 Verificando operaciones Número mayor : x + 2 x2 + 2x = 143 Transponer e igualar a cero x2 + 2x - 143 = 0 Resolvemos la ecuación x2 + 2x - 143 = 0 Número menor: 11 ( x + 13 ) (x - 11 ) = 0 Número mayor : 11 + 2 13 ( x + 13 ) = 0 x = - 13 Los números son 11 y 13 ( x - 11 ) = 0 x = 11 *

Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse Un romboide presenta un área de 133 m2. Encontrar sus dimensiones, sabiendo que la base mide el doble más cinco con respecto a la altura Altura : x x ( 2x + 5 ) = 133 Verificando operaciones Base : 2x + 5 2x2 + 5x = 133 Transponer e igualar a cero 2x2 + 5x - 133 = 0 Resolvemos la ecuación 2x2 + 5x - 133 = 0 (2x2 + 19x) - (14x – 133) = 0 Altura: 7m 2x ( x + 19 ) – 14 (x+ 19 ) = 0 Base : 14 + 5 19m (2x - 14 ) (x+ 19 ) = 0 x = 7 * El romboide tiene como dimensiones: 19 m de base y 7 m de altura ( x + 19 ) = 0 x = - 19

Realizó el primer tratamiento analítico completo del Algebra, MENU LEONHARD EULER (1707 – 1783 ) Realizó el primer tratamiento analítico completo del Algebra, la teoría de ecuaciones, la trigonometría y la geometría analítica.