DETERMINANTES U.D. 2 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

RANGO DE UNA MATRIZ POR DETERMINANTES U.D. 2.6 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. RANGO DE UNA MATRIZ RANGO DE UNA MATRIZ Es el orden del determinante de mayor orden de valor no nulo de dicha matriz. Ejemplo 1 Sea la matriz A = El rango de A no puede ser 4, puesto que no es una matriz cuadrada y el mayor determinante es de orden 3 Veamos si es de rango 3: Todos los determinantes que tomemos tendrán 2 columnas iguales, por lo que su valor es 0. El rango de A no puede ser 3  Rang (A) ≤ 2 Veamos si el rango es 2: 1 1 1 0 = 1 – 0 = 1 <> 0  Rango (A) = 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. RANGO DE UNA MATRIZ RANGO DE UNA MATRIZ Es el orden del determinante de mayor orden de valor no nulo de dicha matriz. Ejemplo 2 Sea la matriz A = Vemos que hay al menos un elemento ( a11 = 1) que es distinto de 0, luego el RANGO de A es, al menos, igual a 1  Rang (A) ≥ 1 Vemos que hay, al menos, un determinante de orden dos no nulo: 1 0 0 1 = 1.1 - 0.0 = 1 <> 0 Luego el Rango de A es, al menos, igual a 2  Rang (A) ≥ 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. … Ejemplo 2 Veamos si existe algún determinante de orden 3 no nulo: 1 0 2 1 0 2 0 1 1 = 3-2-1=0; 0 1 1 = – 1 <> 0 1 1 3 0 1 0 Luego el Rango de A es, al menos, igual a 3  Rang (A) ≥ 3. Y por último sólo nos queda ver si el Rango de A es 4: Desarrollamos por adjuntos de la primera fila: 1 1 0 0 1 0 0 1 1 =1 . 1 3 3 - 0 . A12 + 2. 1 1 3 - 3 . 1 1 3 = 1 0 1 0 1 1 0 1 0 = 1.(3+3-1) – 0 + 2. (-1) – 3 (1) = 5 – 2 – 3 = 0 Luego podemos afirmar que el Rango de la matriz A no vale 4 , al ser de valor nulo el único determinante de orden 4 que existe  Rang (A) = 3. Conclusión: Una fila o columna es combinación lineal de otra/s. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. RANGO DE UNA MATRIZ RANGO DE UNA MATRIZ Es el orden del determinante de mayor orden de valor no nulo de dicha matriz. Ejemplo 3 Sea la matriz A = Vemos que hay al menos un elemento ( a11 = 1) que es distinto de 0, luego el RANGO de A es, al menos, igual a 1  Rang (A) ≥ 1 Vemos que hay, al menos, un determinante de orden dos no nulo: 1 0 0 1 = 1.1 - 0.0 = 1 <> 0 Luego el Rango de A es, al menos, igual a 2  Rang (A) ≥ 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. … Ejemplo 3 Veamos si existe algún determinante de orden 3 no nulo: 1 0 2 0 1 1 = 1 +0+0 – 2 – 1 -0 = - 2 <> 0 1 1 1 Luego el Rango de A es, al menos, igual a 3  Rang (A) ≥ 3. Y por último sólo nos queda ver si el Rango de A es 4: Desarrollamos por adjuntos de la primera fila: =1 . - 0 . + 2. - 3 . = 1.(2+1+0-0-2-1) – 0. (0+1+0-0-0-2) + 2. (0+1+0-0-0-2) – 3 (0+1+1-1-1-0) = = 1.0 – 0.(-1) + 2. (-1) – 3.0 = 0 – 0 – 2 – 0 = -2 <> 0 Luego podemos afirmar que el Rango de la matriz A vale 4 , al ser de valor no nulo el único determinante de orden 4 que existe  Rang (A) = 4. Nota: Podíamos haber comenzado por estudiar si el Rango era 4, luego si era 3, luego si era 2 y por último si era 1. El orden es lo de menos. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. RANGO DE UNA MATRIZ RANGO DE UNA MATRIZ Es el orden del determinante de mayor orden de valor no nulo de dicha matriz. Ejemplo 4 Sea la matriz A = Operamos aplicando Gauss: F3=F3 – F1, F4=F4 – F1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. … Ejemplo 4 Seguimos aplicando Gauss: F2=F2+2·F1, F3=F3 – F1 Al ser el valor del determinante no nulo, el rango de (A) es 4. Rg (A) = 4 Nota: Se un lugar de aplicar Gauss sucesivamente a los adjuntos de cada columna hubiéramos aplicado Hauss-Jordan a la matriz inicial: |A| = a11·a22·a33·a44 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.