14 Sesión Contenidos: Función logarítmica. Elementos de la función logarítmica. Gráfico de función logarítmica en el plano cartesiano. Profesor: Víctor Manuel Reyes F. Asignatura: Matemática para Ciencias de la Salud (MAT-011) Segundo Semestre 2012

Aprendizajes esperados: Determina intervalos de crecimiento y decrecimiento, dominio y recorrido, ceros de la función, esboza la gráfica y determina asíntotas, a partir de la función logarítmica dada algebraicamente. Resuelve ejercicios de aplicación (con enunciado verbal), que se comportan logarítmicamente.

La función logarítmica:

La función logarítmica: La función logarítmica de base b se define como la inversa de la función exponencial con base b. f (x) = 10x Es decir, el logaritmo de base b de un número x es el exponente al cual debe elevarse la base b para obtener el mismo número x. f (x) = log10x y = logb x ↔ by=x Por ejemplo, sabemos que 103 = 1000 , luego log101000=3.

Aplicación de la función logarítmica: El pH, o potencial hidrógeno, indica el grado de acidez de una solución o la concentración de iones de H que posee y se define matemáticamente como el logaritmo negativo de la actividad de los iones hidrógeno: pH = −log [H] donde [H] denota la concentración de iones de hidrógeno. Este sistema se ha utilizado universalmente por lo práctico que resulta para evitar el manejo de cifras largas y complejas.

Aplicación de la función logarítmica: La concentración de H3O+ de 0.00000004 molar equivaldría a tener un pH de 7,4. Al emplear la fórmula obtenemos: pH = —log10 [0.00000004] = —[-3,3] = +3,3 La concentración de H3O+ de 0.0005 molar pH = —log10 [0.0005] = —[-3,3] = +3,3

Aplicación de la función logarítmica: Hay que entender que una solución con pH de 6 tendrá 10 veces más hidronios que una con pH de 7. pH= 3,3 →[0.0005] [0.00000004] → pH= 6,4 pH= 7,4 →[0.00000004]

Aplicación de la función logarítmica: El hecho que una función logarítmica sea la inversa de una función exponencial, significa que la acción que una de ellas realiza sobre un número, la otra función elimina esa acción: log10(10x)=x log10[0.0000000006] = 9,2 pH = 4,8

Aplicación de la función logarítmica: El pH no cambia de una manera aritmética, si no de una manera exponencial pH 1 = 127,35 m pH 2 = 12,735 m pH 3 = 1,2735 m

Ejemplos función logarítmica: 1.- Escala de Richter, la cual cuantifica la magnitud de un terremoto Valor en la escala de Richter Amplitud máx. de las ondas (milésimas de milímetros) 4 10.000 (1 cm) 5 100.000 (10 cm) 8 100.000.000 (100 mt) 2.- Referencia para medir la potencia de una señal o la intensidad de un sonido En donde I es la potencia a estudiar, en vatios (variable), Io es el valor de referencia, igual a 10 − 12 w*m-2.

Aplicación de la función logarítmica natural: Se acepta que el crecimiento de una población de bacterias, durante los primeros instantes, tiene un comportamiento exponencial. Es decir, si N0 es el población inicial de bacterias, entonces a tiempo t, el número de bacterias sería: N(t) = N0 ek t Donde k = 0,4 siendo k>0 la tasa porcentual de crecimiento. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que la población se duplique? ln(ex) = x