Solución numérica de ecuaciones Tele clase 3 Solución numérica de ecuaciones

Ejemplo 1 El radio de la esfera B es un cm mayor que el de la esfera A, pero su volumen es el doble. Hallar el radio de cada esfera. B A

Ejemplo 1 Radio: x Radio: x + 1 VA = VB = B A

Ejemplo 1 Radio: x Radio: x + 1 VA = VB = ?

Ejemplo 2 Una puerta con sistema de cierre amortiguado que es abierta un ángulo y soltada, se cierra según la función: Determine la velocidad angular en el instante en que se ha cerrado a la mitad.

Ejemplo 2 ?

Problema Hallar las raíces de la ecuación f(x) = 0 que se encuentran en un intervalo I

Dos etapas Etapa 1: Separar raíces Hallar intervalos tales que cada uno contenga una sola raíz. Etapa 2: Calcular raíces Hallar las raíces deseadas con la exactitud requerida.

Separación gráfica f(x1) = 0 f(x2) = 0 y x y = f(x) x1 x2

Separación gráfica f(x1) = g(x1) y x y = g(x) y = f(x) x1

Ejemplo 2x sen x = 1 x y  2 y = 2 sen x 1 x1 x2 0,5 < x1 < 1 2,5 < x2 < 3,2

Para ecuaciones algebraicas La ecuación: tiene n raíces (reales o complejas) Las raíces complejas se presentan en pares conjugados.

Regla de Descartes En la ecuación: el número de raíces reales positivas es menor o igual que m y tiene su misma paridad. m: Número de cambios de signo en la sucesión de coeficientes

Regla de Descartes m Cantidad de raíces positivas 5 1, 3 ó 5 4 0, 2 ó 4 3 1 ó 3 2 0 ó 2 1

Regla de Lagrange En la ecuación: todas las raíces reales positivas (si existen) son menores que:

Regla de Lagrange Primer coeficiente negativo B Mayor valor absoluto de los coeficientes negativos

Ejemplo Separar las raíces de: Tiene tres raíces. Al menos una raíz es real Raíces positivas: una en [0, 4] m = 1 una raíz

Raíces negativas Ecuación original: f(x) = 0 Se forma la ecuación: f(-x) = 0 Si r es una raíz positiva de f(-x) = 0 entonces -r es una raíz negativa de la ecuación original.

Ejemplo Separar las raíces de: Cambiando x por –x:

Ejemplo m = 2 0 ó 2 raíces positivas en [0; 2,73] La ecuación original tiene 0 ó 2 raíces negativas en [-2,73; 0]

Gráfica de f(x) en [-2,73; 4]

En resumen: La ecuación: solo posee una raíz real y se encuentra en el intervalo [3,5; 4]

El método de bisección Se quiere resolver la ecuación: f(x) = 0 Hipótesis: En [a, b] la ecuación posee una raíz f(x) es continua en [a, b] f(a)f(b) < 0

Método de bisección x y y = f(x) a1 b1 f(x1) r x1

Método de bisección y y = f(x) x2 a2 r b2 x

Método de bisección y y = f(x) a3 r b3 x

Convergencia

Ejemplo Resolver la ecuación: cos x = x con dos cifras decimales exactas

Gráfica

Ejemplo Resolver la ecuación: cos x = x con dos cifras decimales exactas Posee una sola raíz, que se encuentra en [0, 1] f(x) = cos x - x

an f(an) bn f(bn) xn f(xn) EAM Ejemplo an f(an) bn f(bn) xn f(xn) EAM 0 + 1 - 0.5 + 0.5 0.5 + 1 - 0.75 - 0.25 0.5 + 0.75 - 0.625 + 0.125 0.625 + 0.75 - 0.688 + 0.063 0.688 + 0.75 - 0.719 + 0.031

Algoritmo de bisección Datos: f(x), a, b, e (tolerancia) repeat x := (a + b)/2; Error := (b - a)/2 if f(x) = 0 then x es raíz. FIN else if f(a) * f(x) < 0 then b := x else a := x until Error < e x es la raíz y Em(x) = Error. FIN

Programa Bisección en MN2000

Método Regula Falsi x y y = f(x) a1 b1 x1 x1 r

Forma en que converge x y a1 b1 x1

Forma en que converge x y a2 x2 b2

Forma en que converge x y a3 x3 b3

Forma en que converge Generalmente, uno de los extremos permanece fijo. Generalmente, la amplitud del intervalo no tiende hacia cero. Generalmente, xn converge hacia r más rápido que en el método de bisección.

Formula Regula Falsi

Ejemplo Resolver la ecuación: cos x = x mediante Regula Falsi Posee una sola raíz, que se encuentra en [0, 1] f(x) = cos x - x

an f(an) bn f(bn) xn f(xn) Ejemplo an f(an) bn f(bn) xn f(xn) 0,000 1,000 1,000 -0,460 0.685 0,089 0.685 0,089 1,000 -0,460 0,736 0,005 0.736 0,005 1,000 -0,460 0,739 0,0004

Convergencia Bajo las mismas hipótesis del método de bisección, puede probarse que, si la sucesión numérica x1, x2, ..., xn, ... se genera mediante el método Regula Falsi, entonces

El error del método Regula Falsi Si f(x) satisface que: Posee una raíz en r en [a, b] Es continua en [a, b] f(a)f(b) < 0 Es derivable en [a, b] y f’(x) no cambia de signo en [a, b] Existe f ”(x) en [a, b] y no cambia de signo en [a, b] Entonces:

El error del método Regula Falsi para valores  y  en [a, b] para x en [a, b]

El error del método Regula Falsi para valores  y  en [a, b] para x en [a, b]

El error del método Regula Falsi para valores  y  en [a, b] para x en [a, b]

El error del método Regula Falsi Si 2d > D

El error del método Regula Falsi para x en [a, b]

Rapidez de convergencia

Comparación con bisección Regula Falsi: Bisección:

Algoritmo Regula Falsi Datos: f(x), a, b, e (tolerancia) xa :=  repeat Error := |x – xa| if f(a) * f(x) < 0 then b := x else a := x xa := x until Error < e x es la raíz y Em(x) = Error. FIN

Ejemplo Halle con cinco cifras decimales exactas, la raíz de la ecuación: ln x = sen x Utilice Bisección y Regula Falsi y compare la cantidad de necesitadas

Ejemplo x y e y = ln x  1 y = sen x /2 Raíz en [1,5; 3]

Bibliografía Texto: Secciones 2.1, 2.2, 2.3 y 2.4

Ejercicios recomendados Sección 2.2: 1, 2, 5 y 6 Sección 2.3: 1, 3, 9 y 10 Sección 2.4: 1, 2, 6 y 8