RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Se denomina razón trigonométrica al cociente que se establece entre las longitudes de dos de los lados de un triángulo rectángulo con respecto a uno de sus ángulos agudos. Las razones trigonométricas son seis y se denominan: Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante

Notación de las funciones trigonométricas Función Trigonométrica Se lee: Sen(𝛼) Seno del ángulo 𝛼 Cos(𝛼) Coseno del ángulo 𝛼 Tan(𝛼) o Tg(𝛼) Tangente del ángulo 𝛼 Ctan(𝛼) o Ctg(𝛼) Cotangente del ángulo 𝛼 Sec(𝛼) Secante del ángulo 𝛼 Cosec(𝛼) o Csc(𝛼) Cosecante del ángulo 𝛼

Funciones trigonométricas correspondientes al ángulo´𝛼 𝑆𝑒𝑛 𝛼 = 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝛼 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 𝑎 𝑐 𝐶𝑜𝑠 𝛼 = 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝛼 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 𝑏 𝑐 𝑇𝑔 𝛼 = 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝛼 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝛼 = 𝑎 𝑏 𝐶𝑡𝑔 𝛼 = 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝛼 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝛼 = 𝑏 𝑎 𝑆𝑒𝑐 𝛼 = 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝛼 = 𝑐 𝑏 𝐶𝑠𝑐 𝛼 = 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝛼 = 𝑐 𝑎

Funciones trigonométricas correspondientes al ángulo 𝛽 𝑆𝑒𝑛 𝛽 = 𝑏 𝑐 𝐶𝑜𝑠 𝛽 = 𝑎 𝑐 𝑇𝑔 𝛽 = 𝑏 𝑎 𝐶𝑡𝑔 𝛽 = 𝑎 𝑏 𝑆𝑒𝑐 𝛽 = 𝑐 𝑎 𝐶𝑠𝑐 𝛽 = 𝑐 𝑏

COMPAREMOS: Razones trigonométricas d𝑒 𝛼 𝑆𝑒𝑛 𝛼 = 𝑎 𝑐 𝐶𝑜𝑠 𝛼 = 𝑏 𝑐 𝑇𝑔 𝛼 = 𝑎 𝑏 𝐶𝑡𝑔 𝛼 = 𝑏 𝑎 𝑆𝑒𝑐 𝛼 = 𝑐 𝑏 𝐶𝑠𝑐 𝛼 = 𝑐 𝑎 Razones trigonométricas de 𝛽 𝑆𝑒𝑛 𝛽 = 𝑏 𝑐 𝐶𝑜𝑠 𝛽 = 𝑎 𝑐 𝑇𝑔 𝛽 = 𝑏 𝑎 𝐶𝑡𝑔 𝛽 = 𝑎 𝑏 𝑆𝑒𝑐 𝛽 = 𝑐 𝑎 𝐶𝑠𝑐 𝛽 = 𝑐 𝑏 CONCLUYAMOS: Cuando los ángulos agudos del triángulo rectángulo son complementarios, la RT seno de uno de ellos, es igual a RT Coseno del otro, De igual manera para la Tg y Ctg, Sec y Csc Para un mismo ángulo, Ctg, Sec y Csc son llamadas Co-RT del Sen, Cos y tg respectivamente, es decir son las inversas respectivas.

OBSERVACIONES: En la mayoría de las operaciones con las R.T. es común que se desarrollen algunas operaciones de manera incorrecta. 𝑆𝑒𝑛 𝛼 +𝑆𝑒𝑛 𝛽 =𝑆𝑒𝑛 𝛼+𝛽 𝐶𝑜𝑠 𝛼 −𝐶𝑜𝑠 𝛽 =𝐶𝑜𝑠 𝛼−𝛽 𝑆𝑒𝑛 𝛼 𝑆𝑒𝑛 𝛽 = 𝛼 𝛽 Expresiones no correctas Ejm: Es incorrecto expresar: 𝑆𝑒𝑛 45° +𝑆𝑒𝑛 30° =𝑆𝑒𝑛 75° 𝑆𝑒𝑛 90° 𝑆𝑒𝑛 30° =3

Algunos triángulos notables

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

En un triángulo ABC recto en A, reducir la expresión: DESARROLLO: 𝐾= 𝑎 2 𝑎 𝑐 − 𝑏 2 ( 𝑎 𝑐 ) 𝑎 𝑎 𝑐 −𝑏( 𝑎 𝑐 ) − 𝑎 𝑏 𝑐 −𝑏 𝑏 𝑐 𝑏 𝑐 → 𝐾= 𝑎 𝑐 𝑎 2 − 𝑏 2 𝑎 𝑐 𝑎−𝑏 − 𝑏 𝑐 𝑎−𝑏 𝑏 𝑐 𝐾= 𝑎 2 − 𝑏 2 𝑎−𝑏 − 𝑎−𝑏 → 𝐾= 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 𝑎−𝑏 −𝑎+𝑏 → 𝐾=𝑎+𝑏−𝑎+𝑏 → 𝐾=2𝑏

Calcular aproximadamente el 𝑆𝑒𝑛 𝛼 𝛼→𝑎𝑔𝑢𝑑𝑜 , 𝑠𝑖 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑒 (Sen 37°)(Sec 16°) = (Tg (𝛼))(Sen 60°)(Ctg 30°) DESARROLLO: 3 5 25 24 =𝑇𝑔 𝛼 3 2 3 → 3 5 25 24 =𝑇𝑔 𝛼 3 2 3 → 5 8 =𝑇𝑔 𝛼 3 2 5 12 =𝑇𝑔 𝛼 𝑆𝑖 ℎ𝑎𝑐𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑜𝑔í𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟á ´ 𝐶𝐴 𝐶𝑂 = 5 12 =𝑇𝑔 𝛼 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 ℎ𝑎𝑏𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 5𝑘, 12𝑘 𝑦 13𝑘 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑆𝑒𝑛 𝛼 = 𝐶𝑂 𝐻 = 5 13

Hallar el valor de , si es un ángulo agudo. Si se cumple que: 𝑺𝒆𝒏 𝒕𝒈 𝝅 𝟑 𝑪𝒔𝒄 𝑪𝒕𝒈 𝒙−𝟖° =𝟏 Hallar el valor de , si es un ángulo agudo. DESARROLLO: 𝑃𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑜𝑟í𝑎 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑦 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒, 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎, 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑦 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠, 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜𝑠, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 𝑎𝑞𝑢í 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒𝑚𝑜𝑠 𝜋 3 𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑥𝑎𝑔𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 60° 𝒕𝒈 𝝅 𝟑 =𝑪𝒕𝒈 𝒙−𝟖° 𝝅 𝟑 +𝒙−𝟖°=𝟗𝟎° 𝟔𝟎°+𝒙−𝟖°=𝟗𝟎° 𝒙=𝟑𝟖°

Una persona de dos metros de estatura ubicada a 32 m de la base de una torre. Que tiene una altura de 34 m, divisa la parte más alta con un ángulo de elevación de? Básicamente, si descontamos los 2 m de altura de la persona a los 34 m de la torre, tenemos un triángulo de la siguiente manera: 34 m De donde por teoría se sabe que el único triángulo rectángulo que tiene catetos iguales es el triángulo de 45°, por lo que 𝜶 vale 45° 32 m 2 m 32 m 𝜶 32 m

El perímetro de un triángulo rectángulo ABC (B=90°) es 180 m El perímetro de un triángulo rectángulo ABC (B=90°) es 180 m. Calcular su área si la secante se su mayor ángulo agudo es 2,6 1° El mayor ángulo no sabemos donde esta ubicado, pero al tratarse de un T.R. solo se necesita saber que tiene un ángulo recto y de los otros ángulos agudos, es indiferente donde lo colocamos 2° Te dicen que la secante del mayor ángulo es: 2,6= 26 10 = 13 5 , y sabemos que la secante es el cateto adyacente entre la hipotenusa, por lo tanto cada uno de ellos toma la proporción de 13k y 5k, el cual es un T.R. conocido 𝜶 3° 13k + 5k + 12k = 180 → 30k = 180 → k = 6 4° el área del triángulo es: 5𝑘∗12𝑘 2 =30 𝑘 2 =30∗36=1080 𝑚 2 13k 5k 12k

Dado 𝑇𝑔 𝛼 −𝐶𝑡𝑔 𝛼 = 3𝑚−1 4𝑚+3 − 4𝑚+3 3𝑚−1 Calcular el valor de del 𝑇𝑔 𝛼 −𝐶𝑡𝑔 𝛼 , además del valor de Sen( 𝛼 2 ) Dado 𝑇𝑔 𝛼 −𝐶𝑡𝑔 𝛼 = 3𝑚−1 4𝑚+3 − 4𝑚+3 3𝑚−1 para el problema se debe hallar “m”, usando el teorema de Pitágoras: 5𝑚+2 2 = 3𝑚−1 2 + 4𝑚+3 2 25 𝑚 2 +20𝑚+4=9 𝑚 2 −6𝑚+1+16 𝑚 2 +24𝑚+9 20𝑚+4=18𝑚+10 𝑚=3 Por lo tanto 5m+2=17; 4m+3=15; 3m-1=8, por lo que finalmente: 𝑇𝑔 𝛼 −𝐶𝑡𝑔 𝛼 = 8 15 − 15 8 =− 121 120

Para calcular Sen( 𝛼 2 ), trazaremos dos segmentos de tal manera que se forme otro triángulo, con ángulos de 𝛼 2 tal que al sumarlos obtenemos el valor de 𝛼 (haciendo uso de ángulo externo), por lo que me quedará un triángulo parecido al siguiente Si nos percatamos, los valores obtenidos están en una proporción de 8 veces, por lo que es preferible colocarlos en función de esa proporción, es decir 8 = 1*8 = k, y 32 = 4*8 = 4k. Realizando el teorema de Pitágoras la hipotenusa tendrá un valor de 17 𝑘. Por lo que el valor del Sen( 𝛼 2 ) es: Sen( 𝛼 2 )= 𝐶𝑂 𝐻 = 𝑘 17 𝑘 = 1 17 , 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑟á Sen( 𝛼 2 ) = 17 17