UNIDAD I UTILICEMOS LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS

Presentación del tema: "UNIDAD I UTILICEMOS LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS"— Transcripción de la presentación:

1 UNIDAD I UTILICEMOS LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS

2 Trigonometría es la rama de la Geometría que se enfoca a la medición de los triángulos, especialmente el triángulo recto. Tiene importante aplicación en astronomía, navegación y para medir todo tipo de longitudes de manera indirecta, como la altura de pirámides, edificios, montañas, etc.

3 RAZONES TRIGONOMETRICAS
ANGULO

4 El ángulo es la abertura que forman dos lados contiguos de un triángulo. Se puede medir en unidades llamadas grados ( º ). Un grado es igual a 1/360 de una rotación completa de un lado. Medidas de ángulos REVOLUCION: Una revolución (1 rev) es la medida del ángulo generado por una semirrecta que ha girado una vuelta completa. Un grado (1º) es la medida de un ángulo generado por una semirrecta que ha girado 1/360 de una revolución.

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6 El triángulo recto tiene un ángulo de 90 grados y ya que la suma de los tres ángulos de un triángulo suman 180 grados, para cualquier triángulo se puede deducir que los otros dos ángulos miden cada uno menos de 90 grados. A estos ángulos se les llama agudos y complementarios (su suma es de 90 grados).

7 Tomando como referencia el ángulo a, podemos nombrar cada elemento del triángulo recto ABC. De ese modo, podemos formar 6 posibles relaciones o razones con los lados a, b, c. Estas razones se llaman razones o funciones trigonométricas.

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14 Representación animada del cálculo de SENO y COSENO

15 En la animación siguiente, si consideramos que él ángulo es el formado por la horizontal y la puerta, tenemos que el valor del seno es el correspondiente a la sombra de la puerta proyectada en la pared.

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17 De tal manera que si la puerta la inclinamos totalmente hasta la posición de 0º, tenemos que la puerta no produce sombra, siendo entonces que el seno de 0º es igual a 0.

18 Conforme fuéramos levantando la puerta esta iría produciendo una mayor sombra en la pared, de tal manera que conforme se va incrementando el ángulo hasta 90º, el seno del ángulo se va incrementando hasta un máximo de 1.

19 Para el coseno existe la misma relación y explicación, solo tenemos que  poner el sol en la parte superior y la sombra se proyectará en el piso, de tal manera que para 0º el coseno es de 1.0, para 90º el coseno es de 0 y así sucesivamente.

20 Visitar el sitio http://www. appletpie. com/apie/apiedemo/seno_grafico

21 TEOREMA DE PITÁGORAS 12 29 5 21 13 20 A B C 5 4 3 HIPOTENUSA CATETO

22 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS AGUDOS
CATETO OPUESTO A HIPOTENUSA CATETO ADYACENTE A SENO COSENO TANGENTE COTANGENTE SECANTE COSECANTE

23 EJEMPLO : TEOREMA DE PITÁGORAS H 12 35 EJEMPLO : Sabiendo que  es un ángulo agudo tal que sen=2/3..... 3 2

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36 TRIÁNGULOS SEMEJANTES

37 TRIÁNGULOS SEMEJANTES
CRITERIO Dos triángulos serán semejantes si tienen sus lados proporcionales. Tenemos que se cumple, de entrada: a b c ---- = ---- = ---- a’ b’ c’ Sobre el lado A’B’ del triángulo A’B’C’ se lleva el segmento AB y se traza una paralela al segmento C’A’. Al estar ambos triángulos en posición de Tales, sus ángulos son iguales y por lo tanto son semejantes. C C’ a b a’ A C B b’ c A A’ B’ c’

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39 Hacemos uso de semejanza de triángulos ▲ABC y ▲MNC

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46 TRIANGULOS NOTABLES

47 PRIMER TRIANGULO NOTABLE: 45º.

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53 Observa bien que estos resultados nunca cambian, independientemente de que el valor de x cambie. Es decir que si el triángulo rectángulo es pequeño o grande no interesa , siempre que el ángulo sea de 45º estos serán los valores de las razones trigonométricas.

54 Recordemos que un triángulo equilátero es el que tiene iguales sus tres lados y sus tres ángulos.

55 Segundo triángulo notable: 30º y 60º

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63 TRIÁNGULOS NOTABLES ) ) ( ( ) (

64 PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS PROPIEDAD : “LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE TODO ÁNGULO AGUDO SON RESPECTIVAMENTE IGUALES A LAS CO-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE SU ÁNGULO COMPLEMENTARIO” A LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS SENO Y COSENO TANGENTE Y COTANGENTE ;SECANTE Y COSECANTE SE LES DENOMINA :CO-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

65 EJEMPLOS

66 Sen 83º Cos 47º Tan 10º Cot 63º Sec 51º Csc 49º
Expresemos cada uno de los valores de las razones trigonométricas dadas haciendo uso de la cofunción respectiva Sen 83º Cos 47º Tan 10º Cot 63º Sec 51º Csc 49º

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70 RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS

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83 ANGULO DE ELEVACION Y ANGULO DE DEPRESION

84 ÁNGULOS VERTICALES Los ángulos verticales son ángulos agudos contenidos en un plano vertical y formados por dos líneas imaginarias llamadas horizontal y visual VISUAL ÁNGULO DE ELEVACIÓN ) ) HORIZONTAL ÁNGULO DE DEPRESIÓN VISUAL

85 ANGULO DE ELEVACION Se llama línea de visión a la recta imaginaria que une el ojo de un observador con el lugar observado. Llamamos ángulo de elevación al que forman la horizontal del observador y el lugar observado cuando éste está situado arriba del observador.

86 ANGULO DE DEPRESION Cuando el observador está más alto lo llamaremos ángulo de depresión.

87 Problema Nº 1 Calcula la altura de la torre si nuestro personaje está a 7 m de la base de la torre, el ángulo con el que está observando la cúspide es de 60º y sostiene el artilugio a una altura de 1,5 m.

88 Solución Para comenzar, vamos a hacer un dibujo que aclare un poco la situación poniendo los datos que conocemos. Si nos fijamos en el triángulo, el lado c mide 7 m y una vez que tengamos calculado el lado b, para calcular la altura de la torre sólo tendremos que sumarle los 1,5 m. Así pues, vamos a calcular el lado b. Para el ángulo 60º, el lado que conozco es el cateto adyacente y el que quiero calcular es el cateto opuesto, así pues planteo la tangente de 60º.

89 Problema No. 2 Un edificio proyecta una sombra de 150m. cuando el sol forma un ángulo de 30 º sobre el horizonte, calcular la altura del edificio.

90 Problema Nº 2 Desde un punto A en la orilla de un río se ve un árbol justo enfrente. Si caminamos 100 metros río abajo, por la orilla recta del río, llegamos a un punto B desde el que se ve el pino formando un ángulo de 30º con nuestra orilla. calcular la anchura del río.

91 Problema Nº 4 Desde un punto A en la orilla de un río, cuya anchura es de 50m., se ve un árbol justo enfrente. ¿Cuánto tendremos que caminar río abajo, por la orilla recta del río, hasta llegar a un punto B desde el que se vea el pino formando un ángulo de 60º con nuestra orilla?

92 FIN DE LA UNIDAD I

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