Funciones Prof. M. Alonso

Prerrequisitos Definir el concepto de relación. Resolver ecuaciones lineales. Trazar la gráfica de una relación. Trazar la gráfica de una recta.

Objetivos Definir una función. Distinguir entre variable independiente y dependiente. Hallar el dominio y alcance de una función. Evaluar una función. Trazar la gráfica de una función. Utilizar la notación funcional. Hallar el cociente diferencial de una función.

Observe Costo Almuerzo Propina 25.00 3.75 12.00 1.80 9.25 1.39 48.50 7.28 64 9.60 Gráfica ¿Qué tienen en común? Fórmula Tabla

¿Qué tiene en común la gráfica, la tabla y la fórmula? Observe que se asocian dos cantidades. En la gráfica, a cada hora se asocia una única cantidad de miligramos; en la tabla, al costo de cada almuerzo se asocia una sola propina y en la fórmula para cada valor del radio se obtiene un área del círculo. Todos los ejemplos anteriores son ejemplos del concepto de función.

Definición: Una función consiste de dos conjuntos y una regla de correspondencia tal que a cada elemento del primer conjunto le corresponde un único elemento en el segundo conjunto. El primer conjunto se conoce con el nombre de dominio y el segundo conjunto se llama el alcance. Note que una función es un caso particular de una relación.

Observaciones Note que la definición de función es muy parecida a una relación. De hecho toda función es una relación. La única diferencia es que en una función solamente se le asigna UN VALOR a cada elemento del dominio. Por ejemplo, si a cada día se le asocia el valor máximo y el mínimo eso NO puede ser una función pues se están asociando dos valores con un solo día.

Variable independiente y dependiente V. dependiente Variable Independiente, el costo del almuerzo Costo Almuerzo Propina 25.00 3.75 12.00 1.80 9.25 1.39 48.50 7.28 64 9.60 Dependiente Variable independiente, el tiempo

Dominio y alcance Costo Alm Propina 25.00 3.75 12.00 1.80 9.25 1.39 [30,100] Alcance (0,) {3.75,1.8,1.39,7.28,9.6} Costo Alm Propina 25.00 3.75 12.00 1.80 9.25 1.39 48.50 7.28 64 9.60 [0,6] Dominio (0,) {25,12,9.25,48.5,64}

Notación funcional En esencia una función consiste de dos conjuntos y una regla que permite asignar a cada elemento del dominio un único elemento en el alcance. Usamos letras tales como f, F, g, G ,h para denotar el nombre de la función a la cual nos referimos. Por ejemplo, la ecuación y = 3x + 2 representa una función. En vez de usar y escribimos el símbolo f(x) para indicar que la y es función de la x, o sea, que depende del valor que reciba la x. Por tanto, escribimos f(x) = 3x + 2.

Notación funcional Resumiendo, f(x) significa el valor de y que se le asocia al valor x. Por ejemplo, si la función es f(x)= -3x2+ 1 y nos piden f(2), nos están pidiendo el valor de y cuando x es 2. Como nos están dando una fórmula, lo que hacemos es sustituir: f(2) = -3(2)2 + 1 = -11. O sea que cuando x asume el valor de 2 el valor de la y es -11.   Valor de y Valor de x

Note que cuando x = 1 entonces la gráfica pasa por el par (1,4). ¿Qué ocurre si nos dan la gráfica de una función G y nos piden G(1)? ¿Cómo lo calculamos? Recuerde que G(1) significa hallar el valor de y cuando la x es 1 Note que cuando x = 1 entonces la gráfica pasa por el par (1,4). Por lo tanto,G(1)=4 (1,4) 4 2 1 Note que no siempre se sustituye!!!!!

Función. . . en palabras Suponga que un expreso indica que la velocidad máxima es de 60 millas por hora. Se multa a toda persona que exceda este límite. En cierta ocasión una persona que viajaba a una velocidad de 70 millas por hora obtuvo una multa de $100.00. En otra ocasión una persona que viajaba a 63 millas por hora tuvo que pagar $30.00. La relación entre la multa y las millas por hora es lineal.

Continuación del ejemplo… En el ejemplo anterior la multa M depende de la velocidad v. En vez de escribir M = 10v – 600 escribimos f(v) = 10v - 600 Note que M es equivalente al símbolo f(v). O sea, el valor de y lo representamos por f(v).

Formas de representar una función: Gráfica Tabla Ecuación o Fórmula En palabras

Variable independiente y dependiente Observe que el monto de la multa depende de las millas por hora que excedan a las 60 millas por hora. Por consiguiente, la variable M ( multa) se llama variable dependiente y la velocidad es la variable independiente.

Función. . . en una ecuación La función anterior se puede describir por la siguiente ecuación: M =10v-600 ¿Por qué?¿Cómo de las palabras se obtuvo esta fórmula? ¿Puede trazar la gráfica?¿Cómo es? ¿Cuál es el dominio?

Resumiendo… Si en una ecuación de dos variables obtenemos un único valor para cada valor que asume la variable independiente entonces la ecuación define una función. Si obtenemos más de un valor entonces la ecuación NO define una función.

Observe que hay que despejar para la variable dependiente y. Ejemplos: Determine si las siguientes ecuaciones establecen una función. Suponga que la variable independiente es x. 1. 4y - 5x = 8 y = (5/4)x + 2   2. y2 - x2 = 25 y = Observe que hay que despejar para la variable dependiente y.

Dominio de una función En el primer ejemplo cualquier número se puede multiplicar por 3 y sumarle 8. No hay ninguna restricción. Por lo tanto, decimos que el dominio son los reales. En el segundo ejemplo podemos cuadrar cualquier número ya sea positivo o negativo. Por lo tanto, también el dominio son los reales. En el tercer ejemplo podemos elevar a la tercera potencia cualquier número y le podemos restar el doble de ese número y obtenemos siempre un número. Por consiguiente, el dominio son los reales. El dominio de una función consiste de los valores que se le asignan a la variable independiente.

Veamos este ejemplo: Si se nos ocurre asignarle a la x el valor de –3 obtenemos f(-3) = . Este número NO es real y nuestra función no está definida. La pregunta que nos tenemos que hacer es, ¿habrá algún otro valor que no puedo asignar? ¿Cuáles valores le puedo asignar a la x? ¿Cuál es el dominio? Es decir, ¿cuáles son los números que puedo asignar?

Dominio de Como la función tiene una raíz cuadrada, sabemos que el radicando tiene que ser positivo o cero. Esta expresión se escribe en lenguaje matemático como Radicando  0 2x + 1  0   Por lo tanto, para hallar el dominio lo que tenemos que hacer es resolver la desigualdad y obtenemos x  . Como el dominio es un conjunto de números escribimos [-1/2,  ). Radicando

Dominio de También tenemos que ser cautelosos cuando aparecen fracciones. Recuerde que las fracciones están definidas siempre que el denominador NO SEA cero. En esta función observe que no se puede asignar el valor de –5 a la variable x. Para saber los valores que NO se pueden asignar lo que usted tiene que hacer es resolver la ecuación: denominador  0 x + 5  0 x  -5 Esto implica que ese valor NO pertenece al dominio de la función. Escribimos el dominio R – {-5} o { x | es real , x  -5}.

Resumiendo Cuando las funciones tienen raíces cuadradas o son funciones racionales, tenemos que utilizar los métodos anteriores para hallar el domino de la función.

Evaluación de funciones Cuando tenemos una función y nos dan un valor específico de la variable independiente deseamos buscar el valor de la variable dependiente. Si la función es f(t) = t3 - 2 y queremos saber cual es el valor de la variable dependiente cuando t asume el valor de 2, lo expresamos con el símbolo f(2) y lo calculamos de la manera siguiente:   f(2) = (2)3 - 2 = 8 - 2 = 6 Esto implica que el 2 se asocia con el 6 en esta función. También quiere decir que el par ordenado (2,6) pertenece a la gráfica.

Ejemplo Si f(x) = 2x2 -1 halle f(x+1) y f(a) Solución: f(x + 1) = 2(x+1)2 – 1 f(a) = 2a2 - 1 =2(x2+2x+1) – 1 =2x2 + 4x + 2 – 1 = 2x2 + 4x + 1

¿Qué significa f(x+h)? Significa hallar el valor de la y cuando la variable independiente es x + h. Ejemplo: Si f(x) = 3x + 5 halle f(x+h) f(x + h) = 3(x+h) + 5 = 3x +3h + 5

Se conoce con el nombre de cociente diferencial Considere la función f(x) = 3x2 + 2x. Halle la siguiente expresión: Para hallar f(x + h) reemplazamos x por x+h en la función. OBSERVE!!! Si f(x) = 3 x2 + 2 x entonces f(x + h) = 3(x+h)2 + 2(x+h). Se conoce con el nombre de cociente diferencial

Solución La función original es f(x) = 3x2 +2x

FIN Es importante que intentes los ejercicios de práctica que aparecen en el libro de texto..